ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Контрольная работа
по дисциплине: Экономико-математические методы и
прикладные модели.
на тему: Оптимизационные экономико-математические модели.
Методы получения оптимальных решений.
Выполнил: Фролов Д.И.
группа: ФБ-МН104
Специальность: Бакалавр менеджмента
№ зач. книжки 11МЛД46048
Проверил: Бесхлебнова Г.А.
Москва-2012 Задача 1
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на максимум, и почему?
Условие задачи:
Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) , и . Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.
Питательное вещество (витамин) |
Необходимый минимум питательных веществ |
Число единиц питательных веществ в 1 кг корма |
|
I |
II |
||
|
9 |
3 |
1 |
|
8 |
1 |
2 |
|
12 |
1 |
6 |
Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Решение:
Составим уравнения прямой оптимизационной задачи на минимум затрат. Корм первого и второго видов обозначим как и соответственно.
Ограничения:
– ограничение по содержанию питательного вещества S1
– ограничение по содержанию питательного вещества S2
– ограничение по содержанию питательного вещества S3
,
Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом. Построим прямые ограничений:
I 3х1 + х2 = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)
II х1 + 2х2 = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)
III х1 + 6х2 = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)
и линию уровня:
Для нахождения экстремального значения целевой функции построим вектор – градиент, координаты которого являются частными производными функции , т.е. (4;6). Для построения вектора соединим данную точку с началом координат. Т.к. задача решается на минимизацию функции, поэтому линию уровня, которая формируется перпендикулярно вектору – градиенту, будем перемещать в направлении, противоположенном направлению вектора. Линию перемещаем до ее пересечения с крайней точкой входящей в область допустимых значений, в данной задаче этой точкой является точка с координатами (2;3).
Проверка:
3 Х1+Х2 = 9
1Х1+2Х2= 8
Х1 = 8 - 2Х2
3*(8 - 2Х2) +Х2 = 9
24- 6Х2 +Х2 = 9
Х2 = 3; Х1= 8-2Х2=8-2*3=2 (верно).
ЦФ (2;3) = 4*2+6*3= 26.
Ответ: чтобы обеспечить максимальную полезность корма с минимальными затратами следует взять 2 единицы корма I вида и 3 единицы корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.
Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР).