7.8. Двойственные задачи линейного программирования

Взаимодвойственные задачи

Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Пусть предпри­ятие № 1 производит п видов продукции и использует т видов сы­рья. Известна прибыль, получаемая с единицы продукции . Известны технологические коэффициенты . Требуется организовать производство так, чтобы предпри­ятию была обеспечена максимальная прибыль. Сведем все исход­ные данные в следующую таблицу:

Цены на ресурсы	Запасы сырья	Продукция
		П1	П2	…	Пn
u1	a1	a11	a12	…	a1n
u2	a2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…	…
um	am	am1	am2	…	amn
	Прибыль с единицы продукции	c1	c2	…	cn

Запишем в общем виде экономико-математическую модель за­дачи об использовании ресурсов. Для этого введем переменные — количество продукции j-го вида. Тогда ограничения на сырье запишутся в виде

(7.55)

Целевая функция, определяющая максимум прибыли, имеет вид

По этим же исходным данным сформулируем задачу по пред­приятию № 2.

Допустим, предприятие № 2 решило закупить все ресурсы, ко­торыми располагает предприятие № 1. В этом случае предприятию № 2 необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий:

1. общая стоимость ресурсов для предприятия № 2 должна быть минимальной;

2. за каждый вид ресурса предприятию № 1 надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получать при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.

Обозначим цены, по которым предприятие № 2 покупает ре­сурсы у предприятия № 1, через . Запишем экономико-математическую модель для предприятия № 2 с учетом вышеука­занных условий 1) и 2).

Целевая функция, определяющая минимальную суммарную стоимость ресурсов, имеет вид

(7.57)

В соответствии с условием 2) запишем систему ограничений:

(7.58)

Сравним математические модели задач (7.55), (7.56) и (7.57), (7.58):

1) число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи;

2. матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования;

3. неравенства в системах ограничений имеют противополож­ный смысл;

4. свободные члены системы ограничений одной из задач ста­новятся коэффициентами целевой функции другой задачи, коэф­фициенты целевой функции превращаются в свободные члены ог­раничений;

5. целевые функции в задачах имеют противоположный смысл: в первой — max, во второй — min.

Задачи линейного программирования, обладающие пятью ука­занными формальными признаками, называются симметричными. Одна из них называется основной, а другая — двойственной.

В линейном программировании кроме симметричных двойст­венных пар существуют несимметричные двойственные пары, ко­торые имеют следующий вид:

основная задача:

(7.59)

(7.60)

двойственная задача:

(7.61)

(7.62)

Эти задачи отличаются от симметричной пары двумя особенно­стями;

1. ограничения задачи (7.59)—(7.60) выражены уравнениями вместо неравенств;

2. в задаче (7.61)—(7.62) отсутствуют условия неотрицательнос­ти переменных .

Общее правило построения двойственной пары

К пяти признакам, сформулированным ранее, необходимо до­бавить следующие:

а) в исходной задаче ограничения неравенства следует записывать со знаком г, если целевая функция стремится к min, и со знаком , если целевая функция стремится к max;

б) каждому ограничению неравенства исходной задачи соответ­ствует в двойственной задаче условие неотрицательности перемен­ных ;

в) каждому условию равенства соответствует переменная y_i- без ограничения на знак, и наоборот: неотрицательным переменным x_kиз основной задачи в двойственной задаче соответствуют ограниче­ния неравенства, а неограниченным по знаку переменным соответ­ствуют равенства.

Пример 7.15.

Дана следующая система:

Проверяем условие: целевая функция стремится к min, а знак неравенства должен быть . Исходная задача соответствует данно­му условию, и можно сразу приступить к построению симметрич­ной двойственной пары.

Так как в прямой задаче в системе ограничений два неравенст­ва, то в двойственной будет две переменных u₁ и и₂, причем .

Целевая функция:

.

Учитывая, что целевая функция на max и в прямой задаче , то система ограничений запишется в следу­ющем виде:

Пример 7.16.

Имеем систему

и не имеют ограничения знака;

Так как целевая функция на min, то в исходной задаче ограни­чения неравенства должны иметь знак . Умножим второе нера­венство системы на -1:

В прямой задаче число ограничений равно 3, значит, в двойст­венной будет три переменных: . Так как и₂ и и₃ соответст­вуют неравенствам, то . Параметр и₁ соответствует ра­венству, поэтому и₁ — переменная без ограничения знака.

Число ограничений в двойственной задаче равно 5, так как в прямой задаче пять переменных, в том числе первое, третье и пя­тое ограничения будут неравенствами, потому что они соответству­ют неотрицательным переменным, а второе и четвертое ограниче­ния будут уравнениями, так как соответствуют переменным без ог­раничения знака. Запишем двойственную задачу с учетом вышеиз­ложенного:

целевая функция:

ограничения:

Решение симметричных двойственных задач

Сформулируем без доказательства теорему, справедливую для любых двойственных задач.

Теорема (первая теорема двойственности). Если одна из двойст­венных задач имеет оптимальное решение, то и другая его имеет.

Причем экстремальные значения целевых функций совпадают. Если же в одной задаче целевая функция не ограничена, то двойственная ей задача противоречива.

Запишем в обшем виде прямую и двойственную задачи линейного программирования:

а) прямая задача:

(7.63)

б) двойственная задача:

(7.64)

Преобразуем задачи (7.63) и (7.64) к виду, допускающему при­менение симплекс-алгоритма. Для этого введем выравнивающие переменные в прямую задачу и — в двойствен­ную задачу:

а) прямая:

(7.63’)

б) двойственная:

(7.64’)

Построим для задач (7.63') и (7.64') общую симплекс-таблицу, причем эта таблица имеет дополнительные столбец и строку для двойственной задачи:

1 Таха X. Введение в исследование операций: В 2-х кн. — М.: Мир, 1985.

1 Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятнос­тей. - М.: Радио и связь, 1983.

1 Таха X. Введение в исследование операций: В 2-х кн. - М.: Мир, 1985.

1 Таха X. Введение н исследование операций: В 2-х т. — М.: Мир, 1985.