29. Определение оптимальных уровней запасов при вероятностном спросе и линейных функциях затрат.
Рассмотрим
частный случай модели при вероятностном
спросе, когда функции затрат
,
и
-линейные.
В этом случае величину
можно
определить аналитически.
Действительно,
,
тогда
,
(7.3.31)
Отсюда для нахождения оптимального уровня запасов получим уравнения
;
(7.3.32)
где
-
функция распределения случайного
спроса.
В частности, для спроса, распределенного по закону Рэлея,
,
имеем
,
отсюда
.
Для показательного распределения спроса получим
,
откуда
.
Рассмотрим
случай дискретного распределения спроса
:
(7.3.33)
Соответственно
(7.3.34)
Найдем приращение
.
(7.3.35)
Д
окажем
существование и единственность
оптимального решения
,
для чего исследуем знак приращения
.
При
,
а
при
.
(7.3.36)
Итак,
монотонность функции
обеспечивает
однократность смены знака приращения
.
Очевидно, выбор
должен
производиться из условий:
,
(7.3.37)
которые можно свести к системе неравенств:
.
(7.3.38)
Найдем расходы за период так же, как и в детерминированном случае (рис. 7.15):
а)
при
средний
положительный запас равен
,
а время его существования
;
б)
при
получим
средний положительный запас
,
средний дефицит
,
время существования запаса
и
время существования дефицита
.
Общие расходы в единицу времени составляют
.
30. Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках.
Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.
I
вариант.
Рассмотрим модель управления запасами
при вероятностном спросе и мгновенных
поставках. Пусть
-
запас продукта к началу операции;
-
запас после пополнения (
),
а (
) - случайный спрос за время операции
;
-
плотность распределения спроса;
-
расходы на пополнение запасов.
Предположим, что
заказ на пополнение выполняется
мгновенно. Если к концу операции на
складе остается часть невостребованного
запаса
,
то система снабжения несет расходы на
сохранение избыточного запаса
(при
,
).
Наоборот, при неполном удовлетворении
спроса (
) система платит штраф за дефицит
.
Тогда математическое ожидание суммарных
расходов системы за период равно
.
(7.3.28)
Найдем, при каких
значениях
величина
будет
минимальной. Для этого определим
,
(7.3.29)
где
,
,
-
обозначены частные производные по
соответствующим функциям ( в (7.3.29) учтено,
что
,
и положим
).
В общем случае
функция
при
фиксированных
может
иметь несколько минимумов.
Обозначим через
абсциссу
абсолютного минимума
,
а через
,
,
точки
следующих относительных минимумов,
причем пусть
<
<
<
.<
(рис. 7.12). Пусть далее
,
,
-
точки, удовлетворяющие таким
условиям:
<
<
<
<.;
=
,
=
и
т.д.
Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:
п
ри
заказывать
;
при
ничего
не заказывать;
при
заказывать
и
т.д.
Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции [49]:
a)
- не является относительным минимумом
и
;
в) уравнение
имеет
не более одного вещественного корня;
c) → ∞ при → ∞.
Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.
О
бозначим
через
решение
уравнения
(рис.
7.13). Тогда оптимальная стратегия
единственная и будет следующей:
при
заказывать
(делать заказа на поставку)
;
при
ничего
не заказывать.
ІІ вариант.Допустим,
что стоимость пополнения запасов равна
при
и
нулю при
.
Как видим, в этом случае в сравнении с
вариантом І появился дополнительный
член
(фиксированная
плата за заказ). В этом случае заказ
целесообразно делать лишь при условии
.
(7.3.30)
Е
сли
уравнение (7.3.30) имеет единственное
решение
,
то оптимальная стратегия, как видно из
рис. 7.14, имеет вид [49]:
при
заказывать
;
при
ничего
не заказывать.
В литературе эта стратегия называется 'стратегией двух уровней' или (S,s)-стратегией [49].