- •Теория вероятностей.
- •Пространство элементарных исходов.
- •Вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов.
- •Классическое определение вероятности
- •Сигма-алгебра событий.
- •Определение вероятности на общем пространстве элементарных исходов. Свойства вероятности.
- •Геометрические вероятности. Примеры.
- •Условная вероятность
- •Независимость событий в совокупности
- •Формула полной вероятности.
- •Последовательность испытаний Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Случайные величины. Определение. Функция распределения случайной величины и её свойства.
- •Дискретные случайные величины. Примеры распределения дискретных случайных величин.
- •Абсолютно непрерывные распределения случайных величин. Плотность распределения и её свойства.
- •Примеры абсолютно непрерывных распределений. Равномерное распределение
- •Совместная функция распределения двух случайных величин и её свойства. Совместное распределение двух дискретных случайных величин.
- •Абсолютно непрерывные совместные распределения двух случайных величин. Совместная плотность распределения, её свойства.
- •Условные плотности распределения.
- •Распределения n-мерных случайных векторов. Дискретные распределения, абсолютно непрерывные распределения.
- •Распределение функции от случайной величины. Примеры.
- •Независимость случайных величин.
- •Распределение суммы независимых случайных величин. Формула свертки.
- •Математическое ожидание случайных величин. Свойства математического ожидания. Примеры.
- •Дисперсия случайных величин. Свойства дисперсии. Примеры.
- •Ковариация. Свойства.
- •Коэффициент корреляции. Свойства.
- •Двумерное нормальное распределение и его параметры.
- •Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
- •Сходимость по вероятности последовательности случайных величин. Свойства сходимости по вероятности.
- •Закон больших чисел.
- •Слабая сходимость последовательности случайных величин и её свойства.
- •Соотношения между слабой сходимостью случайных величин и сходимостью по вероятности.
- •Центральная предельная теорема. Различные формулировки центральной предельной теоремы.
Дисперсия случайных величин. Свойства дисперсии. Примеры.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсию удобно вычислять по формуле:
Свойства дисперсии:
Ковариация. Свойства.
Мы знаем, что для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. В общем случае, согласно следствию 16, дисперсия суммы равна
|
(19) |
Величина равняется нулю, если случайные величины и независимы (свойство (E7) математического ожидания). С другой стороны, из равенства её нулю вовсе не следует независимость, как показывают примеры 34 и 35. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» между двумя случайными величинами.
Определение. Ковариацией случайных величин и называется число
Коэффициент корреляции. Свойства.
Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и , дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число
Замечание. Чтобы разглядеть «устройство» коэффициента корреляции, распишем по определению числитель и знаменатель:
Коэффициент корреляции обладает свойствами:
1) если и независимы, то ;
2) всегда ;
3) тогда и только тогда, когда и п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа и такие, что .
Двумерное нормальное распределение и его параметры.
Двумерный случайный вектор имеет нормальное распределение, если его плотность равна
где
— вектор математических ожиданий,
— ковариационная матрица.
Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде
где
— определитель ковариационной матрицы,
— коэффициент корреляции случайных величин и .
Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.
Теорема (неравенство Маркова). Если , то для любого
Доказательство. Нам потребуется следующее понятие.
Определение. Пусть — некоторое событие. Назовём индикатором события случайную величину , равную единице, если событие произошло, и нулю, если не произошло.
По определению, величина имеет распределение Бернулли с параметром , и её математическое ожидание равно вероятности успеха . Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством . Поэтому
Тогда
|
(21) |
Осталось разделить обе части неравенства (21) на положительное .
Следующее неравенство мы будем называть обобщённым неравенством Чебышёва.
Следствие (обобщённое неравенство Чебышёва). Пусть функция не убывает и неотрицательна на . Если , то для любого
Доказательство. Заметим, что , поскольку функция не убывает. Оценим последнюю вероятность согласно неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности :
Сходимость по вероятности последовательности случайных величин. Свойства сходимости по вероятности.
Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине при , и пишут , если для любого
Пример. Рассмотрим последовательность , в которой все величины имеют разные распределения: величина принимает значения и с вероятностями . Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к нулю.
Зафиксируем произвольное . Для всех начиная с некоторого такого, что , верно равенство . Поэтому
Итак, случайные величины с ростом могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.
Например, последовательность можно задать на вероятностном пространстве так: положим для и для .
Свойства: ( и )
;
.
Если и — непрерывная функция, то .
Если и непрерывна в точке , то .