- •1 Теорема:
- •6) Канонический вид злп; разрешенный и допустимый канонический вид. Использование канонической формы в симплексном методе. Критерий допустимости и критерий оптимальности.
- •7) Метод искусственного базиса для нахождения вершины. Искусственные переменные и недопустимость множества решений злп.
- •9) Двойственные задачи. Двойственность в линейном программировании. Правила построения двойственных задач
- •Правила построения пары двойственных задач
- •Исследование моделей задач лп на чувствительность.
- •12. Транспортная задача. Общая постановка транспортной задачи. Свойства множества решений. Методы нахождения первой вершины.
- •Метод потенциалов.
- •15. Вырожденность в транспортных задачах и приемы борьбы с зацикливанием. Задача о назначениях как частный случай вырожденной транспортной задачи
- •Задача о назначениях
- •16) Элементы целочисленного программирования. Метод Гомори построения отсечений и двойственный симплексный метод.
6) Канонический вид злп; разрешенный и допустимый канонический вид. Использование канонической формы в симплексном методе. Критерий допустимости и критерий оптимальности.
Разрешенный (допустимый) канонический вид ЗЛП содержит явно выделенные базисные переменные в матрице ограничений. Применение симплекс-метода для задачи линейного программирования предполагает предварительное приведение ее формальной постановки к канонической форме с n неотрицательными переменными: (X1, ..., Xn), где требуется минимизация линейной целевой функции при m линейных ограничениях типа равенств.
Критерий допустимости - в задачах максимизации и минимизации в качестве исключаемой переменной выбирается та базисная переменная, для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограничения к (положительному) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенства этого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно.
Критерий оптимальности - вводимой переменной в задаче максимизации (минимизации) является небазисная переменная, имеющая в Z -уравнении наибольший отрицательный (положительный) коэффициент. В случае равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор делается произвольно если все коэффициенты при небазисных переменных в Z-уравнении неотрицательны (неположительны), полученное решение является оптимальным.
7) Метод искусственного базиса для нахождения вершины. Искусственные переменные и недопустимость множества решений злп.
Для задачи, заданной в форме основной задачи линейного программирования, можно непосредственно указать ее опорный план, если среди векторов Pj, компонентами которых служат коэффициенты при неизвестных в системе уравнений данной задачи, имеется m единичных. Однако для многих задач линейного программирования, записанных в форме основной задачи и имеющих опорные планы, среди векторов Pj не всегда есть m единичных. Рассмотрим задачу:
Пусть требуется найти максимум функции
F=c1x1+c2x2+ … +cnxn
При условии
нет m единичных.
Определение. Задача, состоящая в определении максимального значения функции
F=c1x1+c2x2+ … +cnxn-Mxn+1-… -Mxn+m
при условии
где M – некоторое достаточно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задается, называется расширенной задачей по отношению к основной задаче.
Расширенная задача имеет опорный план определяемый системой единичных векторов Pn+1, Pn+2, …, Pn+m, образующих базис m-мерного пространства, который называется искусственным. Сами векторы, так же как и переменные xn+i (i=1,m), называются искусственными. Так как расширенная задача имеет опорный план, то ее решение может быть найдено симплексным методом.
Теорема. Если в оптимальном плане расширенной задачи значения искусственных переменных xn+i* (i=1,m), то X=(x1*, x2*, …, xn*) является оптимальным планом основной задачи.
При опорном плане X*=(0, …, 0, b1, …, bm) расширенной задачи значение линейной формы есть
Таким образом, F0*и разности zj-cj состоят из двух частей, одна из которых зависит от M, а другая – нет.
После вычисления F0*, и j их значения, а также исходные данные расширенной задачи заносят в таблицу, которая содержит на одну строку больше, чет обычная симплексная таблица. При этом в (m+2)-ю строку помещают коэффициенты при M, а в (m+1)-ю слагаемые, не содержащие M.
При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу (m+2)-й строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса в результате некоторой итерации, в дальнейшем не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов и, следовательно, преобразование столбцов этого вектора излишне.
Пересчет симплекс-таблицы при переходе от одного опорного плана к другому производят по общим правилам симплексного метода.
Итерационный процесс по (m+2)-й строе ведут до тех пор, пока:
1) либо все искусственные векторы не будут исключены из базиса;
2) либо не все искусственные векторы исключены, но (m+2)-я строка не содержит больше отрицательных элементов в столбцах векторов P1, P2, …, Pn+m.
В первом случае базис отвечает некоторому опорному плану исходной задачи и определение ее оптимального плана продолжают по (m+1)-й строке.
Во втором случае, если элемент стоящий в (m+2)-й строке столбца вектора P0, отрицателен, исходная задача не имеет решения; если он равен нулю, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса. Если исходная задача содержит несколько единичных векторов, то их следует включить в искусственный базис.
Если в найденном оптимальном плане расширенной задачи искусственных переменных равны нулю, то получен оптимальный план исходной задачи.