Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1b.docx

Скачиваний:

Добавлен:

24.09.2019

Размер:

239.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

3 Билет.

1ч.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

Использование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x₀) = y₀, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x₀) = y₀.

Пример Стандартная Форма решения.

Решить уравнение y' − y − xe^x = 0. Решение.

Запишем данное уравнение в стандартной форме:

Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

Пример в решении методом постоянной вариации.

Решить дифференциальное уравнение

Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

которое решается разделением переменных:

где C − произвольное положительное число. Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде:

Производная равна

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

Интегрируя, находим функцию C(x):

где C₁ − произвольное действительное число. Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде:

Пример решением методом интегрирующего множителя.

Решить уравнение y' − 2y = x. Решение.

A. Сначала решим данную задачу с помощью интегрирующего множителя. Наше уравнение уже записано в стандартной форме. Поэтому:

Тогда интегрирующий множитель имеет вид:

Общее решение исходного уравнения записывается в виде:

Вычислим последний интеграл, применяя интегрирование по частям.

Получаем

2ч.

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x) определена на всей числовой прямой R;

F(x) не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

F(x) непрерывна справа, т.е.

Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам .Найти функцию распределения заданной случайной величины.

Решение: Используя формулу, имеем

По формуле находим функцию распределения F(x) для заданной случайной величины. Если , то

Если , то

Если x>4, то Итак, График функции F(x)

Билет4.

1ч.

Однородная функция. Функция одного или нескольких переменных f(x₁, x₂, …,x_n) называется однородной степени k, если существует такое (постоянное) число k, что при любых значениях λ выполняется тождество f(λx₁, λx₂, …, λx_n) = λ^k∙f(x₁, x₂, …, x_n).Указанное число k называется степенью (показателем) однородности функции.Однородные функции обладают рядом интересных свойств. Одно из них – так называемое тождество Эйлера для однородной функции f(x₁, x₂, …, x_n) степени однородности k: ; здесь – частная производная функции f по переменной х_i, i = 1, 2, …, n.

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид Подстановка ; ; , где преобразует это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. , , .Замечание. Функция называется однородной степени , если , где - некоторая константа. Например, функция является однородной функцией степени два, поскольку .А функция является однородной функцией нулевой степени однородности, так как .Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как ,где - однородная функция нулевой степени однородности.