19. Методические рекомендации к изучению тригонометрических функций. Методика изучения свойства периодичности функции
У А. Г. Мордковича ведущей является функциональная линия, поэтому уже в 9 классе изучаются тригонометрические функции y = sinx, y = cosx. Функции y=tgx, y = ctgx изучаются позднее (10-11). Выявляются свойства и вид графика.
В учебниках Ш. А. Алимов и др. другая последовательность, но уже в 9 классе немного говорится о тригонометрических функциях. Подробно они изучаются в 10-11 классе, причем в старых учебниках сначала изучаются тригонометрические функции, потом триг. уравнения и неравенства, в новых наоборот. Рассмотрим методику изучения тригонометрических функций по учебнику Ш. А. Алимов и др.
Мотивация: рассматриваются примеры из реальной действительности, описывающиеся тригонометрическими функциями, например, движение Земли вокруг солнца и вокруг своей оси, фазы луны, приливы и отливы, движения планет, качание маятника и т.д. (процессы периодичности).
Следует изучить функции описывающие периодические процессы, т. е. тригонометрические.
До сих пор как числа рассматривались sinα, cosα, tgα, ctgα, изучались их свойства, т. е. многое уже изучено, поэтому можно организовать самостоятельную работу учащегося по выявлению свойств тригонометрических функций.
Учитель дает предварительное д/з по учебнику 9 класса: выяснить определение тригонометрических функций и их свойства: ООФ, МЗФ, четность/нечетность, нули функции, промежутки знакопостоянства, нули функции.
В классе заполняется таблица.
Тригонометрические функции |
|||
y = sinx |
y = cosx |
y = tgx |
y = ctgx |
1. -//- 2. -//- 3.
4. sinx = 0, x=πn 5. sinx>0 (2πn; π + 2πn) sinx<0 (-π + 2πn; 2πn) |
1. D(y): R 2. E(y): [-1,1] 3. y(-x)=y(x), т. е. функция четная. 4.
5. cosx<0
|
1. D(y): x≠ π/2+ πn 2. E(y): R 3. y(-x) = -y(x), т. е. ф-ция нечетная. 4. tgx = 0, x = πn 5. tgx > 0 (πn; π/2 + πn) tgx < 0 (-π/2 + πn; πn) |
1. D(y): x ≠ πn 2. E(y): R 3. y(-x) = -y(x), т. е. ф-ция нечетная. 4.
ctgx = 0,
5. ctgx > 0 (πn; π/2 + πn) tgx < 0 (-π/2 + πn; πn) |
y(-x)
= -y(x),
т. е. ф-ция нечетная.
,
.
- Итак, мы рассмотрели некоторые свойства тригонометрических функций, но эти функции обладают важным свойством, о котором ранее не говорилось, т. к. не было соответствующих функций. Это свойство периодичности.
Далее формулируется определение: функция f(x) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения этой функции выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции f(x).
Это первое определение содержащее 2 квантора: всеобщности и существования. Именно их наличие вызывает трудности у учащихся.
Следует не забывать такие моменты:
1). Если функция имеет период, то она имеет бесконечное множество периодов Учащиеся, как правило, помнят только основной период: наименьший положительный, поэтому учителю следует подчеркнуть тот факт, что если 2π период функции, то, например, 12π тоже период и т. д.). Важно объяснить учащимся, что основной период выбирается только из соображений удобства при построении графиков функций.
2). Нужно привести примеры других нетригонометрических периодических функций. у ={x} – дробная часть числа. {x}=x-[x]. ([x] – целая часть числа – ближайшее целое не превосходящее х). График – стрелочки.
3). Следует подчеркнуть, что на промежутках, длины которых равны периоду, график функции имеет один и тот же вид.
4). При установлении периодичности тригонометрических функций следует учитывать два момента:
- доказать, что некоторое число является периодом функции (по определению);
Известно, что для любого значения х верны равенства sin(x + 2π) = sinx, cos(x + 2π) = cosx. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2π. Такие функции называются периодическими с периодом 2π. - доказывается, что это число является наименьшим «+» периодом.
Докажем, что 2π – наименьший положительный период функции y = cosx.
Док-во.
Пусть T>0 – период косинуса, т.е. для любого х выполняется равенство cos(x+T)=cosx. Положив х = 0, получим cosT = 1. Отсюда T = 2 πk, k из Z. Т.к. T > 0, то Т может принимать значения 2π, 4π, 6π, …, и поэтому период не может быть меньше 2π.
После установления периодичности стоит задача построить графики тригонометрических функций.
Например, установили, что функция y = cosx четная, значит, её график симметричен относительно оси Оу. Известно, что эта функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π, значит, рассматриваем отрезок [-π,π]. Но, исходя из свойства четности, можно пока ограничится отрезком [0,π]. С помощью числовой единичной окружности и определения косинуса показываем, что на отрезке [0,π] функция монотонно убывает от значения 1 к значению -1. Это можно доказать аналитически. Далее по характерным точкам: (0,1), (π/2,0), (π,-1), (π/3,1/2), (2π/3,-1/2) выполняем построение части графика функции y=cosx на отрезке [0,π]. Отражаем его от оси ординат и дополняем исходя из периодичности на всю числовую прямую. После построения графика все свойства вновь иллюстрируются по графику.
Далее решаются традиционные упражнения на чтение графиков, использование свойств функций:
- выяснить является данная функция чётной или нечётной;
- доказать, что данная функция является периодической с периодом …;
- найти наименьший положительный период;
- используя свойства возрастания/убывания сравнить числа;
- построить график функции и выяснить её свойства.
20. Урок изучения нового по теме «Функция у=cos x, ее свойства и график»
Рассматриваемая тема является классической и присутствует в каждом учебнике алгебры и начал анализа 10 класса. Разнообразие учебников отражает весь спектр подходов авторов в изложении материала. В учебнике А.Г.Мордковича представлен индуктивный подход к изложению материала, причем, в отличие от учебника Ш.А.Алимова, эта тема содержится в главе 1,в которую включены не только сами функции, но еще и понятия числовой окружности и формулы приведения. Знания, полученные в ходе изучения темы, применяются для решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Знание графика тригонометрической функции позволяет определять решения, которые заданы на промежутке. Тема урока: функция y=Cosx, ее свойства и график.
Учебник: Алгебра и начала анализа. 10-11 кл: В двух частях: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Мордкович А.Г.. – 6-е изд. – М. : Мнемозина, 2005, глава 1.
Тип урока: урок изучения нового.
Учебная задача: получить график функции y=Cosx на основе уже изученной функции y=Sinx, показать, что графиком функции y=Cosx описываются многие реальные процессы. Изучение функции y=Cosx, ее свойств и графика.
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
Знает:
- как построить график функции y=Cosx;
- свойства функции y=Cosx;
Умеет:
- строить график функции y=Cosx;
- строить график функции с помощью преобразований на основе функции y=Cosx ;
- доказывать свойства функции y=Cosx;
Понимает, что:
- доказательства свойств функции получаются на основе применения знаний прошедших тем: по аналогии эти свойства доказывались и для функции y=Sinx;
- график функции y=Cosx описывает реальные процессы.
Методы обучения: частично-поисковые методы, эвристическая беседа, репродуктивный.
Форма работы: фронтальная, индивидуальная.
Средства обучения: мел, доска, учебник, презентация.
Структура урока:
мотивационно-ориентировочный этап – 13 мин.
содержательный этап – 27 мин.
рефлексивно-оценочный этап – 5 мин.
Ход урока
Мотивационно-ориентировочный этап.
1. Актуализация.
№1. В начале урока проводится летучка, задания представлены на экране (слайд1).
Задание: для 1 и 2 варианта: необходимо записать формулы приведения и для обоих вариантов построить график функции y=Sinx.
Содержание слайда:
I вариант |
II вариант |
|
|
построить график функции у=Sinx |
|
(Дети меняются тетрадками и проверяют друг у друга работы, и ставят оценки. Критерии оценивания: 5 правильных ответов – 5, 4-4, 3-3, 2-2, 1-1)(слайд2)
(После взаимопроверки учитель вместе с учениками вспоминают основные свойства графика функции y=Sinx)
У: Назовите свойства построенного графика y=Sinx (слайд 3)
Д:
область определения: все множество
действительных чисел,
;
множество значений: [-1;1]; функция нечетная;
ограничена снизу и сверху.
№2. Построить
график функции у=Sin(
+х).
У: Как будем строить?
Д: Сначала построим график функции y=Sinx, затем сдвинем ось Оу вправо на (график влево на ).
(Дети строят график функции, построение выводится на экран(слайд4)).
У: Сегодня мы вспоминали с вами формулы приведения, тогда чему равно выражение Sin( +х)?
Д: Sin( +х)=Cosx.
2. Мотивация.
У: Многие реальные процессы в нашей жизни описываются графиком функции y=Cosx.При изучении световых и звуковых явлений, электротехники и работы некоторых механизмов огромное значение приобретает исследование законов колебательного движения, что самым тесным образом связано с применением тригонометрии. Многие из них описываются уравнением графика функции y=Cosx. Гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Исследование гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, которые встречаются в природе и технике, часто имеют близкий к гармоническому характер ; 2) различные периодические процессы (процессы, которые повторяются через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания некоторой величины s описываются уравнением вида
3. Постановка учебной задачи.
Поэтому целью нашего урока будет изучить функцию y=Cosx, ее свойства и график. Изучать данную функцию мы будем по аналогии с функцией y=Sinx.
Содержательный этап.
У: У вас на парте лежит канва-таблица, которую будем заполнять в течение нашего урока. Как вы видите, в этой таблице уже заполнен первый столбец, это то, что мы вспоминали с вами в начале урока: свойства графика функции у=Sinx. Как вы думаете, свойства какой функции мы будем туда записывать? (y=Cosx).
y=Sinx |
|
|
|
D(f):x |
|
|
|
|
|
|
|
y=Sinx – нечетная функция, т.е. Sin(-x)=-Sinx |
|
|
|
- возрастает
- убывает
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничена снизу и сверху |
|
7. Периодичность |
|
Периодичная,
наименьший положительный период равен
|
|
при
при
У: На слайде и у вас в тетрадях представлен график этой функции и по этому графику мы будем определять его свойства. (слайд5)
У: Давайте подумаем, какие свойства графиков функции y=Cosx и y=Sinx будут совпадать?
Д: Область определения, множество значений, ограниченность, периодичность (идет заполнение таблицы, дети записывают в таблицу, учитель запись ведет на доске).
У: Какое следующее свойство мы определяем? (четность/нечетность). Посмотрим на график: относительно какой оси график функции y=Cosx симметричен?
Д: Относительно оси Оу.
У: Значит, функция является какой...?
Д: Четной.
(производится соответствующая запись в таблицу и на доску)
У: Докажем это свойство:
Функция f(x) называется четной, если для любого х выполняется:
Т.е.
,
это следует из ранее рассмотренных нами
свойств изучения косинуса числа.
У: Посмотрим на каких промежутках функция y=Cosx возрастает и убывает.
(слайд 6)
У: На каком промежутке по графику функция возрастает?
Д:
У: А есть ли еще промежутки возрастания?
Д:
Да, например,
.
У: Если мы с вами продлим ось и продолжим график, будут ли у нас еще промежутки возрастания?
Д: Да
У: Тогда в общем виде как запишем промежутки возрастания?
Д:
(соответствующая запись производится в таблицу и на доске)
У: На каком промежутке по графику функция убывает?
(слайд 6)
Д:
У: А есть ли еще промежутки убывания?
Д:
Да, например,
У: Если мы с вами продлим ось и продолжим график, будут ли у нас еще промежутки убывания?
Д: Да
У: Тогда в общем виде как запишем промежутки убывания?
Д:
У: Какой следующий пункт таблицы будем заполнять? (наибольшее и наименьшее значение)(слайд 7)
У: Какое наибольшее значение принимает у?
Д: Равное 1.
У: При каких значениях аргумента функция достигает наибольшее значение?
Д: При 0, 2п, -2п…
У: Как запишем в общем виде?
Д:
(производится соответствующая запись в таблицу и на доске)
У: Наименьшее значение определите сами, ответы сравним.
(дети находят наименьшее значение функции, при каких значениях аргумента достигается минимальное значение)
Д:
наименьшее значение равно -1, оно
достигается при
.
(результаты записываются в таблицу и на доске)
У:
Мы с вами уже знаем, что функция
- периодическая с наименьшим положительным
периодом
.
Как вы думаете, функция
какой
имеет наименьший положительный перод?
Д: Тоже .
У: Верно. Давайте докажем это.
Пусть
Т>0 – период косинуса, т.е. для любого
х выполня6ется равенство
.
Положив
,
получим
.
Отсюда
,
.
Так как Т>0, то Т может принимать значение
,
,
…,
поэтому период не может быть меньше
.
(доказательство записывается в тетрадь).
В итоге получается следующая заполненная таблица:
y=Sinx |
y=Cosx |
|
|
D(f):x |
D(f):x |
|
|
|
|
|
|
y=Sinx – нечетная функция Sin(-x)=-Sinx |
y=Cosx – четная функция Cos(-x)=Cosx |
|
|
- возрастает
- убывает
|
- возрастает
- убывает
|
|
|
при при |
при
при
|
|
|
Ограничена снизу и сверху |
Ограничена снизу и сверху
|
7. Периодичность |
|
Периодичная, наименьший положительный период равен |
Периодичная, наименьший положительный период равен |
У: Итак, подведем небольшой итог: функции y=Sinx и y=Cosx некоторыми своими свойствами схожи, а некоторыми отличаются. Давайте назовем, чем же отличается функция y=Cosx от функции y=Sinx.
Д: Функция y=Cosx проходит через точку (0;1), y=Cosx – четная функция.
У: Теперь посмотрим на экран, какой из представленных графиков будет являться графиком функции y=cosx? (слайд 8)
Д: Дети выбирают
У: Теперь открываем учебник, решаем № 195, под а),в)(слайд 9) решаем вместе, под б),г) – самостоятельно (слайд 10)
№ 195:
Для функции
,
где
,
найдите:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
Решение:
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
У: А теперь давайте решим такое задание (задание представлено также на экране(слайд 11)). При каком значении аргумента функция y=Cosx принимает значение на промежутке :
а)
,
б)
,
в)
г)
.
Решение:
У: Раз известно значение функции, то как можем записать уравнение для нахождения х?
Д:
а)
.
У: Тогда х чему равен?
Д:
Это табличное значение,
.
У: аналогично решаем под следующими буквами (желающие могут решать у доски).
б)
,
,
в)
,
,
г)
,
.
У: Следующий №203 (а,в).
№203: Постройте график функции:
а)
(слайд
12), в)
(слайд13)
У: Найдем наименьшее и наибольшее значение по графикам.
Д:
а)
при
,
при
,
.
б)
при
,
при
,
.
У: А теперь давайте решим с вами неравенство по графику:
Д:
Теперь смотрим по графику при каких х .
Это часть графика у=Cosx, которая находится выше прямой у= . Это выполняется при
,
.
III. Рефлексивно-оценочный этап.
У: Какова была цель урока?
Д: Изучить график функции y=Cosx и его свойства.
У: Достигли ли мы ее?
Д: Да.
У: Как мы ее достигли?
Д: Построили график функции и по нему изучали его свойства, записывая в таблицу.
У: Домашнее задание: № 196, № 203 (б,г), № 206 (а,б) ( с построением графика)