- •Введение
- •Раздел 1. Элементы аналитической геометрии
- •Раздел 2. Элементы линейной алгебры
- •Раздел 3. Элементы векторной алгебры
- •Раздел 4. Элементы линейного программирования
- •Список рекомендуемой основной и дополнительной литературы
- •Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольных работ
- •Задание 2. Линии второго порядка
- •Задание 4. Действия над векторами
- •Алгоритм симплексного метода
Задание 4. Действия над векторами
Даны длины двух векторов и известен угол между ними .
Требуется найти:
1) длину соответствующего вектора в задачах: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19;
2) скалярное произведение в задачах: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20;
3) скалярный квадрат в задачах: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Таблица 3 – Данные задания 4 «Действия над векторами»
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
|
|
Найти |
1 |
2 |
3 |
|
|
11 |
6 |
4 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
12 |
5 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
|
13 |
6 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
|
14 |
3 |
6 |
|
|
|
5 |
3 |
2 |
|
|
15 |
6 |
5 |
|
|
|
6 |
2 |
5 |
|
|
16 |
1 |
6 |
|
|
|
7 |
5 |
3 |
|
|
17 |
6 |
3 |
|
|
|
8 |
4 |
3 |
|
|
18 |
2 |
6 |
|
|
|
9 |
4 |
5 |
|
|
19 |
4 |
6 |
|
|
|
10 |
5 |
4 |
|
|
20 |
5 |
1 |
|
|
Пример 4
Найти длину вектора , если известно, что
Решение:
Задание 5. Координаты вектора в новом базисе
Показать, что система векторов , , образует базис, разложить вектор по этому базису. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера. Координаты векторов даны в таблице 6.
Таблица 6 – Данные задания 5 «Координаты вектора в новом базисе»
№ |
|
|
|
|
1 |
(3,1,4) |
(-1,-3,1) |
(-2,1,-5) |
(3,-1,4) |
2 |
(5,3,3) |
(3,-2,2) |
(2,4,1) |
(9,-5,6) |
3 |
(1,3,2) |
(1,5,2) |
(-2,-1,3) |
(-1,0,5) |
4 |
(2,3,3) |
(4,1,-4) |
(1,2,5) |
(3,1,5) |
5 |
(4,2,1) |
(-1,-2,1) |
(2,1,2) |
(9,3,5) |
6 |
(1,3,4) |
(-3,1,1) |
(1,-2,-1) |
(-2,-1,3) |
7 |
(3,1,1) |
(1,2,4) |
(-2,-1,-5) |
(5,3,1) |
8 |
(1,2,2) |
(3,5,-1) |
(-2,2,3) |
(-1,3,-2) |
9 |
(2,4,1) |
(-1,-2,-3) |
(-1,-3,3) |
(-1,-3,-2) |
10 |
(2,3,4) |
(2,-2,3) |
(-1,2,1) |
(-3,1,2) |
11 |
(2,2,1) |
(-3,4,-2) |
(2,-5,-3) |
(3,-4,-7) |
12 |
(3,2,1) |
(2,1,-4) |
(5,3,3) |
(6,3,0) |
13 |
(2,3,1) |
(-1,2,-3) |
(-1,2,-5) |
(3,1,2) |
14 |
(1,5,2) |
(2,3,3) |
(4,-4,1) |
(3,5,1) |
15 |
(4,1,2) |
(2,2,1) |
(-1,1,-2) |
(-1,3,1) |
16 |
(3,1,1) |
(-1,4,3) |
(-1,-1,-2) |
(2,3,-1) |
17 |
(1,4,2) |
(-2,-5,-1) |
(3,1,1) |
(0,-5,1) |
18 |
(3,1,5) |
(-1,-3,2) |
(1,-2,2) |
(-2,1,3) |
19 |
(1,2,3) |
(-2,-4,-1) |
(1,3,-3) |
(1,4,1) |
20 |
(2,2,3) |
(2,3,4) |
(-3,2,1) |
(-6,5,3) |
Пример 5
Показать, что система векторов , , образует базис, найти разложение в этом базисе.
Решение: Покажем, что векторы , , образуют базис. Найдём определитель, составленный из координат этих векторов.
Т.к. определитель не равен нулю, следовательно, векторы линейно независимы и образуют базис.
Разложим вектор по векторам данного базиса: , здесь , , − искомые координаты вектора в базисе , , . В координатной форме это уравнение (1, 1, 2) + (5, 3, -1) + (2, 3, 1) = (5, 2, 2) принимает вид:
Решим приведённую систему по формулам Крамера ; для этого вычислим дополнительные определители полученные из основного определителя Δ заменой –го столбца столбцом свободных членов:
; .
Таким образом, находим коэффициенты разложения вектора :
Задание 6. Решение задач линейного программирования симплексным методом
Затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами – , , . Запасы каждого вида сырья заданы вектором , прибыль от реализации единицы продукции каждого типа − вектором . Определить оптимальный план выпуска продукции, при котором прибыль от реализации выпущенной продукции будет максимальной. Составить математическую модель задачи, решить задачу симплексным методом. Составить двойственную задачу к данной и найти её решение.
Таблица 7 – Данные задания 6 «Симплексный метод решения задач»
№ |
|
|
|
|
|
1 |
(3, 2, 4) |
(5, 4, 3) |
(6, 2, 2) |
(270, 90, 190) |
(2, 1,1) |
2 |
(3, 2, 4) |
(1, 2, 3) |
(5, 4, 1) |
(230, 210, 130) |
(1, 2, 3) |
3 |
(3, 2, 4) |
(4, 7, 6) |
(2, 1, 1) |
(230, 270, 190) |
(1, 1, 2) |
4 |
(7, 1, 3) |
(1, 2, 1) |
(3, 1, 6) |
(200, 90, 150) |
(3, 1, 2) |
5 |
(4, 5, 3) |
(4, 7, 6) |
(2, 1, 1) |
(230, 270, 190) |
(2, 1, 3) |
6 |
(2, 5, 4) |
(3, 2, 7) |
(6, 1, 2) |
(190, 140, 100) |
(2, 1, 3) |
7 |
(2, 6, 1) |
(8, 4, 3) |
(1, 5, 4) |
(325, 325, 215) |
(1, 3, 2) |
8 |
(5, 3, 1) |
(3, 5, 4) |
(2, 1, 3) |
(270, 240, 145) |
(3, 1, 2) |
9 |
(4, 1, 3) |
(1, 3, 3) |
(2, 4, 5) |
(200, 120, 260) |
(1, 2, 3) |
10 |
(6, 1, 2) |
(9, 1, 1) |
(3, 2, 4) |
(480, 90, 140) |
(2, 5, 4) |
11 |
(2, 2, 4) |
(1, 1, 5) |
(3, 5, 1) |
(150, 190, 230) |
(2, 3, 4) |
12 |
(4, 2, 5) |
(2, 6, 1) |
(5, 1, 2) |
(200, 150, 160) |
(2, 3, 1) |
13 |
(3, 2, 1) |
(5, 3, 4) |
(4, 4, 5) |
(160, 120, 180) |
(2, 1, 3) |
14 |
(2, 3, 5) |
(4, 1, 3) |
(3, 8, 1) |
(100, 150, 130) |
(1, 2, 1) |
15 |
(3, 7, 2) |
(5, 1, 2) |
(1, 1, 6) |
(125, 165, 150) |
(3, 2, 1) |
16 |
(9, 3, 1) |
(4, 3, 5) |
(1, 4, 1) |
(290, 175, 155) |
(1, 2, 1) |
17 |
(2, 6, 4) |
(4, 2, 1) |
(1, 3, 5) |
(130, 200, 150) |
(2, 1, 1) |
18 |
(1, 4, 2) |
(1, 5, 3) |
(7, 1, 6) |
(175, 170, 210) |
(1, 2, 1) |
19 |
(2, 3, 2) |
(2, 3, 4) |
(7, 4, 1) |
(150, 160, 280) |
(1, 1, 2) |
20 |
(3, 1, 2) |
(1, 2, 4) |
(5, 3, 1) |
(170, 115, 105) |
(2, 2, 3) |
Пример 6. Составим математическую модель.
Пусть предприятие выпустит x1 единиц продукции I, х2 единиц продукции II, х3 единиц продукции III.
Расход сырья А на все виды продукции – . По условию задачи расход сырья А не должен превышать запаса , т.е. ≤ Аналогично составляем ограничения расхода сырья В и С. Получим систему неравенств:
Прибыль от реализации выпущенной продукции будет равна
.
Запишем модель задачи:
(12)
. (13)
(13) называют целевой функцией.
Пусть (7,2,5), d2(0,3,1), d3(5,2,1), Q(220,140,100), Р(2,1,1)
(14)
. (15)
Введем балансовые переменные , , в каждое неравенство для приведения модели к каноническому виду
(16)
, (j=1,2,…6)
. (17)