18) Правило получения закона управления в виде дифференциального уравнения из передаточной функции

19) Логарифмические и амплитудно-фазовые частотно-фазовые

При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых в большинстве случаев можно построить при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением  и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

, дБ,                             (86)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ (рис. 23).

Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды ,то

или

.

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс.

Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики. По сути такой график объединяет на одной плоскости амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

Термин употребляется также в применении к передаточной функции системы, записанной в виде преобразования Фурье выходного сигнала, поделённого на преобразование Фурье входного сигнала.

20) Многоконтурные стационарные линейные системы

Пусть  — входной сигнал линейной стационарной системы, а  — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и  — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

.

21) Нестационарные линейные системы

Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:

• Линейность означает, что связь между входом и выходом системы удовлетворяет свойству. Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством: если сигнал на входе системы (воздействие) —

x(t) = A·x₁(t) + B·x₂(t)

тогда сигнал на выходе системы (реакция) —

y(t) = A·y₁(t) + B·y₂(t)

для любых постоянных A и B, где y_i(t) — выход системы как реакция на входной сигнал (воздействие) x_i(t).

• Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.

Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.

Связь между временно́й и частотной областями

Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразование Лапласа импульсной передаточной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.

Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал с некоторой комплексной амплитудой и частотой , то выход будет равен некоторому сигналу с комплексной амплитудой . Отношение будет являться передаточной функцией системы на частоте .

Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.

Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.

Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.

22-23) Устойчивость линейных систем автоматического управления

Рассматривается уравнение

x′ = f(t, x),

(НС)

f: [t0, +∞) × Rn → Rn,

(2)

и фиксированное его решение x = φ(t) = gt0t(x0) на [t0, +∞). Предполагается, что выполнены условия обобщенной теоремы Коши — Пикара.

Решение φ называется

— устойчивым по Ляпунову, если (см. рис. 2а)

∀ (ε > 0) ∃ (δ > 0) ∀(x0: |x0 – x0| < δ) ∀ (t ≥ t0) [ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | < ε ] ;

— асимптотически устойчивым, если (см. рис. 2б)

1) оно устойчиво,

2) ∃ (Δ > 0) ∀ (x0: |x0 – x0| < Δ) [gt0t(x0)– gt0t(x0)→ 0 при t → +∞];

— асимптотически устойчивым в целом, если оно асимптотически устойчиво, причем в 2) можно взять Δ = +∞; другими словами, 2) заменяется на

2') ∀ (x0) [gt0t(x0)– gt0t(x0)→ 0 при t →+∞];

— экспоненциально устойчивым, если

∃ (Δ1 > 0, M > 0, γ > 0) ∀(x0: |x0 – x0| < Δ1) ∀ (t ≥ t0)

[ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | ≤ Me–γ(t– t0) |x0 – x0| ] ;

— экспоненциально устойчивым в целом, если в качестве Δ₁ можно взять +∞, т. е.

∃ (M > 0, γ > 0) ∀ (x0) ∀ (t ≥ t0) [ | gt0t(x0)– gt0t(x0) | ≤ Me–γ(t– t0) |x0 – x0| ] .

Рис. 2.

Очевидно, экспоненциальная устойчивость решения влечет его асимптотическую устойчивость, которая, в свою очередь, влечет устойчивость. Нетрудно проверить также, что обратные импликации не справедливы (для второй это уже показано в п. 4.2.1).

Как видно из определения, устойчивость решения φ(t) = gt0t(x0)— это непрерывность семейства операторов сдвига {gt0t: t ≥ t0} в точке x0, равномерная относительно t ∈ [t0, +∞). Из теоремы об условии Липшица для оператора сдвига вытекает, что соответствующее семейство {gt0t: t ∈ [t0, t1]} для любого отрезка [t0, t1] в условиях обобщенной теоремы Коши — Пикара всегда равномерно непрерывно в любой точке x0, т. к.

| gt0t(x0)– gt0t(x0) | ≤ ( exp ∫ t t0 M(s) ds ) ·|x0 – x0|.

В частности, так будет для уравнения (1) и при a > 0, хотя устойчивости нулевого решения нет.

Пусть Φt0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t0. Утверждается, что

(а) (ЛС) устойчива ⇔ Φt0(t) ограничена на [t0, +∞);

(б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φt0(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t0) [||Φt0(t)|| ≤ Me–γ(t–t0)] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что

||x0|| < δ ⇒ ||gt0t(x0)||= ||Φt0(t)x0|| < 1    (t ≥ t0).

Следовательно, если ||x|| = 1, то ||δx/2|| < δ и

||Φt0(t)x0|| = 2 δ ||Φt0(t)(δx/2)|| < 2 δ .

Поэтому ||Φt0(t)|| < 2/δ, т. е. Φt0(t) ограничена.

Если, наоборот, известно, что

||Φt0(t)|| ≤ H   (t ≥ t0),

то

||gt0t(x0)||≤ H||x0||,

так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда

||x0|| < Δ ⇒ ||Φt0(t)x0|| → 0 при t → +∞.

В частности для орта e_k

||Φt0(t)ek|| = 2||ek|| Δ · || Φt0(t) ( ek· Δ 2||ek|| ) || → 0 при t → +∞

(мы рассматриваем произвольную норму в Rn, поэтому, возможно, ||ek|| ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φt0(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

Пусть дано, что Φt0(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x0 ∈ Rn

gt0t(x0)= Φt0(t)x0 → 0 при t → +∞,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ₁ > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что

||x0|| < Δ1 ⇒ ||Φt0(t)x0|| ≤ Me–γ(t–t0)||x0||    (t ≥ t0).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию ||x|| = 1, будем иметь:

||Φt0(t)x|| = 2 Δ1 || Φt0(t) ( x· Δ1 2 ) || ≤

≤ 2 Δ1 Me–γ(t–t0) || x0· Δ1 2 || = Me–γ(t–t0)||x||.

Следовательно,

||Φt0(t)|| ≤ Me–γ(t–t0)    (t ≥ t0).

Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x₀

||Φt0(t)x0|| ≤ ||Φt0(t)||·||x0|| ≤ Me–γ(t–t0)||x0||   (t ≥ t0),

т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.

24) Непрерывное и дискретное представление процессов управления

25) Программы дискретных управляемых устройств

26) Правила перехода от непрерывной передаточной функции к дискретной

27) Типы систем управления

Система автоматического управления, как правило, состоит из двух основных элементов — объекта управления и управляющего устройства.