16)Для того чтобы найти область сходимости ср., докажем теорему Абеля.

Т. (Абеля): Если степенной ряд сходится при то он абсолютно сходится Если ряд расходится в т. то он расходится

Пусть ряд сходится, тогда Поскольку

функция, имеющая предел, ограничена, то Перепишем ряд в виде

Для ряда из абсолютных величин его членов

имеем > причем геометрическая прогрессия сходится при Таким образом, при по первому признаку сравнения ряд сходится, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд сходится абсолютно.

Пусть теперь ряд расходится при Предположим в противоречие с утверждением теоремы, что при котором ряд сходится. Но по доказанному выше ряд должен тогда сходиться в т. Полученное противоречие с условием доказывает теорему.

Действия со степенными рядами

1) Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

 

  2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

 3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

 Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

 Коэффициенты с_i находятся по формуле:

 

Деление двух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов q_n рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Если функции f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащий точку х=а и в этом интервале имеет непрерывные производные от 1 до n-порядка включительно, то она может быть представлена в виде суммы многочлена n- степени и остаточного элемента R_n(х) по формуле Тейлора:

(1)Предпологая, что f(x) имеет в окрестности точки х=ф производную до (n+1) порядка включительно можно R_n(х) можно записать в форме Лагранжа

где с — некот. Среднее значение между а и х, т е x<c<a (или a<c<x) если в формуле (1) положить а=0б то получим формулу Маклорена

(3), где R_n(x)=

(4), а число с пинадлежит (0;х) Если функция f(x)- бесконечно дифференциируема в окрестности точки х₀ и R_n->0 при x->бесконечности, то из формулы тейлора получается разложение функции f(x) по степени (x-x₀) и называется рядом Тейлора

(5) Если подожить х₀=0, то полученное разложение f(x) по степеням х в так называемый ряд Лагранжа

17.Ряды фурье. Тригонометрический ряд.

А)Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

Этот ряд может быть также переписан в виде

где

A_k — амплитуда k-го гармонического колебания,

— круговая частота гармонического колебания,

θ_k — начальная фаза k-го колебания,

— k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова…

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Б)Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то

, где

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить