7.Формулы для моментов линейных функций от двух дискретных случайных величин,понятие безграничной делимости,примеры.

Линейное преобразование случайного вектора. Числовые характеристики

Общий вид линейного преобразования случайного вектора есть умножение его на матрицу и добавление произвольного неслучайного вектора: .Раскроем это преобразование: .Вычислим вначале математическое ожидание от первой составляющей первого извекторов: . Точно так же . Поэтому .

В соответствии с математическим определением ковариационной матрицы Таким образом, если случайный вектор претерпевает преобразование , то математическое ожидание и ковариационная матрица результата такого преобразования вычисляются по формулам: , .Мы снова убеждаемся в том, что ковариационная матрица не зависит от смещения, которое задается вектором .Рассмотрим в качестве примера один важный частный случай.Пусть матрица A имеет вид , а вектор . Тогда  - скаляр:  = , и ковариационная матрица также вырождается в скаляр, а именно - в дисперсию, которую будем обозначать через Най­дем математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь полученными формулами.

. Перемножив эти два вектора, окончательно получим Частные случаи:- случайные величины  и  независимы или хотя бы некоррелированы, тогда , - коэффициентыa = b = 1, то есть случайная величина  есть сумма двух некоррелированных случайных величин  и , тогда , то есть дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых Пусть в одинаковых условиях выполнены две серии независимых испытаний по схеме Бернулли (см. п. 1.2.4). Количество испытаний в первой серии равно n, во второй серии - k. Производящие функции моментов : и . Найти производящую функцию моментов для случайной величины - суммы количества появления события A в этих двух сериях испытаний. Искомая функция есть произведение: .Оказывается, что полученная функция - это производящая функция моментов биномиального распределения, соответствующего схеме Бернулли с количеством испытаний, равным (n+k). Конец примера. Полученный результат свидетельствует о том, что сумма случайных величин, подчиняющихся биномиальному распределению, есть случайная величина, распределенная также по биномиальному закону. Это свойство случайных величин и их распределений называется безграничной делимостью. Приведем точную формулировку обнаруженного свойства. Распределение вероятностей случайной величины безгранично делимо тогда и только тогда, когда эта случайная величина может быть представлена суммой любого количества независимых случайных величин, подчиненных тому же распределению вероятностей

8Непрерывные случайные величины, аксиоматика,функции распределения и плотности распределения вероятностей,свойства,числовыехарактеритики,квантили,интерквантильныйпромежуток,неравенство Чебышева.

Непрерывные случайные величины.

Непрерывная случайная величина - функция случайных событий, принимающая значения на полуоткрытых интервалах.В соответствии с современной аксиоматикой для определения непрерывной случайной величины устанавливают:

- пространство элементарных событий ,

- сигма - алгебру полуоткрытых интервалов ,

- вероятностную меру на . Тогда говорят, что непрерывная случайная величина задана тройкой (, , P). Такое задание непрерывной случайной величины позволяет применять вероятностную меру точки, поскольку сигма - алгебра полуоткрытых интервалов, по определению, содержит точку, как результат более, чем счетного пересечения этих интервалов, то есть, как предел сходящейся последовательности полуоткрытых интервалов. Функция распределения и плотность распределения