![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Решения
- •1. Решение на числовом промежутке
- •2. Задача Коши
- •3. Продолжение решений.
- •4. Общее решение.
- •5. Интегральная поверхность
- •6. Интегральная кривая, заданная неявно
- •7. Первый интеграл
- •8. Базис первых интегралов
- •2.Траектории
- •1. Траектория
- •3. Регулярные точки
- •4. Виды траекторий
- •5. Параметрическое задание траекторий
- •6. Неявное задание траекторий
- •7. Уравнение траекторий
- •7.Сложные состояния равновесия систем с линейными членами.
- •8. Признаки ограниченности числа предельных циклов.
- •10.Преобразование Бендиксона
- •13. Преобразование Пуанкаре.2
- •14. Круг Пуанкаре.
- •15. Типы диф. Сис-мы на проективной ф.П.
- •16. Поведение траекторий в окрестности экватора сферы Пуанкаре (s2 p)
- •17. Проективный атлас сферы Пуанкаре.
13. Преобразование Пуанкаре.2
С целью описания поведения траекторий системы
(I)
в окрестности экватора сферы Пуанкаре
введем две новые прямоугольные декартовы
системы координат. На плоскости касающейся
сферы Пуанкаре в точке В(1,0,0) (рис. 55.1)
введем правую прямоугольную декартову
систему координат
ось
сонаправлена с осью
ось
противоположно направлена с осью
Масштаб во всех системах одинаковый.
При таком введении системы координат
плоскость (u,z)
получает ориентацию и рассматривается
та сторона плоскости, нормаль которой
противоположна направлению с осью
Если на координатной плоскости
точка М1
(u,z),
то в системе координат
М (1,u,-z).
Пусть точка М(x,y)
фазовой плоскости (x,y)
не лежит но оси Oy,
тогда прямая
пересекает плоскость (u,z)
в некоторой точке
в системе координат
.
Тогда при
согласно заданию прямой
(*)получаем
Учитывая
связь в системах
и
в
и
в
.
Таким образом, координаты точки М(x,y)
с абсциссой
и координаты точки М1(u,z)
с ординатой
связаны равенствами
(1). Так и равенствами
(P-1)
Преобразование (Р-1) называют первым
преобразованием Пуанкаре фазовой
плоскости, а (1) обратное первое
преобразование Пуанкаре.
Преобразование (Р-1) устанавливает биективное отображение
(2)
фазовой плоскости (x,y)
из которой удалена ось Oy
на координатную плоскость
из которой удалена ось
.
Отображение (2) называется первым
отображением Пуанкаре. Первой заменой
Пуанкаре (Р-1) систему (I)
приведем к системе
(3)
Пусть
X
и Y
полиномы, тогда
и
не являются полиномами и систему (3)
можно записать в виде
(4)
где
и
полиномы не делящиеся одновременно на
z,
а число m
– целое неотрицательное. На основании
(4) записываем
(5) где
Связь между поведением траекторий системы (I) и системы (5).
Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z>0 системы (5) биективно соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости x>0 системы (I) с сохранением направления движения вдоль соответствующих траекторий этих систем.
Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z<0 системы (5) биективно с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости x<0 системы (I).
Поведение траекторий системы (5) в окрестности прямой z=0 с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности экватора, из которого удалены точки С(0,1,0) и С’(0,-1,0).
Тем
самым устанавливается поведение
траекторий системы (I)
в бесконечно удаленной части фазовой
плоскости, из которой удалены концы оси
Oy.
Чтобы описать поведение траекторий на
концах оси Oy
введем еще одну правую прямоугольную
систему координат
.
Данная система координат расположена
на плоскости касающейся в точке С(0,1,0)
сферы Пуанкаре (рис.55.2).
совпадает с точкой С. Ось
противоположно направлена с осью
Ось
сонаправлена с осью
Масштаб в системах координат
и
одинаковый. Система координат
получает ориентацию и рассматривается
та ее сторона, нормаль к которой
противоположно направлена с осью
Пусть
точка М2
в системе координат
имеет координаты (z,v),
тогда в системе координат
эта точка имеет координаты (v,1,-z).
Если точка M(x,y)
не лежит на оси Ox
фазовой плоскости (x,y),
то прямая
пересекает фазовую плоскость (z,v)
в некоторой точке
из системы (*) при
получаем
.
Учитывая
связь систем координат
и
по координатам
в
находим координаты точки
в системе
.
Таким образом, координаты точки М(x,y)
фазовой плоскости Oxy
при
и координаты точки M2(z,v)
системы
при
связаны формулой
(6)
и
(Р-2)
(Р-2) называют вторым преобразованием Пуанкаре, а (6) обратное второе преобразование Пуанкаре.
Преобразование (Р-2) устанавливает биективное отображение
(7)
которое называют вторым отображение Пуанкаре.
С помощью (Р-2) систему (I) приводим к дифференциальной системе
(8)
Если
и
не
являются полиномами, то (8) перепишем в
виде
(9)
и
- полиномы не делящиеся одновременно
на z,
m
– целое неотрицательное. У системы (4)
и (9) число m
одинаковое. На основании (9) составляем
(10)
где
Связь между поведением траекторий системы (I) и системы (10).
Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z>0 системы (10) биективно соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости y>0 системы (I), направление движения вдоль траекторий этих систем сохраняется.
Поведение траекторий, расположенных в полуплоскости z<0 системы (10) биективно с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий, расположенных в полуплоскости y<0 системы (I).
Поведение траекторий системы (10) в окрестности точки z=v=0 с точностью до направления движения вдоль траекторий соответствует поведению траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности точек С(0,1,0) и С’(0,-1,0).
Таким образом, изучив поведение траекторий системы (5) в окрестности прямой z=0 и поведение траекторий системы (10) в окрестности точки z=v=0 установим поведение траекторий системы (I) на сфере Пуанкаре в окрестности экватора.
Теорема 1.Тождественное преобразование
фазовой плоскости на себя, первое (2) и второе (7) отображение Пуанкаре образуют группу 3 порядка.
Доказательство. Первое и второе преобразование Пуанкаре являются взаимообратными
Кроме этого