3.2 Основная идея и геометрич интерпретация симплекс-метода

Симплекс-метод – метод реш-я задач ЛП,запис. В канонич форме записи.

Из основной теоремы ЛП известно,что экстремум лин.функции, опред на выпуклом многогранном множестве,достигается в вершине этого множества. А каждой вершине многогранника планов соот-т опорный план,значит экстремум целевой функции в ЗЛП(1-3)достиг на опорном плане.Поэтому в симплекс-методе рассматриваются только опорные планы.

Решение задачи симплекс-методом сост из 2-х этапов:1. Находят какой-нибудь начальн. Опорный план;2. Состоит из последоват-ти шагов, на каждом из кот получают новый опорный план,значение целевой функции на кот ближе к оптимальному,чем на предыдущ шаге. А т.к. число опорных планов конечно,то через конечн. Число шагов получают оптимальный план.

Переход от одного опорного плана к другому осущ-ся путем замены базиса. Каждый раз заменяется только 1н базисный вектор. Для опорн плана это значит, что одна из базисн переменных становится свободной,а одна из своб-х – базисной.

Геометрически это соответствует переходу из одной вершины многогранн. Планов по ребру в соседнюю вершину,значен.целевой функции на кот ближе к оптимальному.

Т.о., геометрическая интерпретация процесса решения ЗЛП симплекс-методом следующая: последовательный переход из одной вершины многогранн.планов в соседнюю, значен.целевой функции на кот ближе к оптимальному до тех пор, пока не будет найдена оптим вершина.

3.3 Симплексные таблицы и табличная запись условия задач

Решение ЗЛП симплекметодом осущ с пом симпл-х табл. Каждый шаг с.м. описывается такой табл. Чтобы записать задачи(1-3) в симпл. табл. Предположим, что векторы ā¹, ā²,…, ā^m из системы векторов (4) предст. один из её базисов. Тогда переменные х₁, х₂,…, х_m будут базисными, а х_m+1,…,х_n – свободные. Тогда систему ур-й(2) с помощью метода Гауса можно предст в виде:

х_i = b_i0 – b_ij x_m+j , i = 1,m

Т.е., в системе ур-й (5) БП выражены через СП. Выразим целевую ф-ю(1) также через СП:

f = b₀₀ – b_ij x_m+j

После таких преобраз-й условия задачи можно зап в симпл.табл.

БП	1	СП
		-xm+1 … -xm+s … -xn
x1 xk xm	b10 bk0 bm0	b11 b1s b1,n-m bk1 bks bk,n-m bm1 bms bm,n-m
f	b00	b01 b0s b0,n-m

3.4. Признак оптимальности опорного плана

В симплексной таблице 1 записан опорный план (b10, … , bk0, … , bm0 , … , 0, … , 0)

C помощью равенств (5), (6) задачу 1-3 можно представить в виде

n-m

f= b00 - ∑ b0j*xm+j (max) (7)

j=1

n-m

xi=bi0 - ∑ bij*xm+j, i=1, m (8)

j=1

xj≥0, j=1, n (9)

Предположим, что все числа bi0, i=1, m неотрицательны, тогда в симплексной таблице 1 записан невырожденный опорный план. Пусть в f-строке таблицы 1 все числа неотрицательны, т.е. b0j≥0, j=1, n-m.

Т.к. свободные переменные xm+j, j=1, n-m равны нулю (m+j=0)и могут только увеличиваться при любом изменении плана в силу условий неотрицательности, то при любом изменении плана целевая функция может только уменьшаться.

Целевая функция (7) при изменении плана будет только уменьшаться, это значит, что симплекс-план – оптимальный.

ВЫВОД. Если задача решается на максимум и если в f-строке симплексной таблице все числа неотрицательны (за исключением единичного столбца), то опорный план является оптимальным. Аналогично можно доказать, что если задача решается на минимум, то опорный план является оптимальным, если все числа в f-строке неположительны.