10. Теорема Поста-Яблонского. Выводы из этой теоремы.

Теорема Поста. Для того чтобы система булевых функций была функционально полной, необходимо и достаточно, чтобы она содержала:

1) нелинейную функцию;

2) немонотонную функцию;

3) несамодвойственную функцию;

4) функцию, не сохраняющую 0;

5) функцию, не сохраняющую 1.

Из этой теоремы следует довольно простой способ выяснения полноты некоторого набора функций. Для каждой из этих функций выясняется принадлежность к перечисленным выше классам. Результаты заносятся в так называемую таблицу Поста (причем знаком “+“ отмечается принадлежность функции соответствующему классу, знак “-”означает, что функция в него не входит). В соответствии с теоремой Поста набор функций будет полным тогда и только тогда, когда в каждом столбце таблицы Поста имеется хотя бы одни минус.

Задача З. Выяснить, является ли следующая система функций функционально полной: A={F_{1 ,} F₂ , F₃ , F₄ 1, F₅ 0}.

Используя данные теоретические сведения, перейдем к непосредственному выяснению полноты заданной системы функций А. 1) Исследуем функцию F₁ — на принадлежность указанным классам. Таблица истинности данной функции была нами построена в задании 1 .

• F₁ (0,0,0) = 1 F₁(x,y,z)K₀

• F₁ (1,1,1) = 1 F₁(x,y,z)K₁

• F₁ (0,0,0) = F₁ (1,1,1)  F₁(x,y,z)K_C

• Из того, что (0,0,0)(1,1,0) F₁ (0,0,0) =1> F₁ (1,1,0)=0, значит, F₁(x,y,z) K_М

• Построим полином Жегалкина для данной функции. В результате последовательной подстановки вместо переменных всех комбинаций значений в общий вид полинома Жегалкина от 3-х переменных G(х, у, z)=a₀  a₁x  a₂y  a₃z  a₄xy  a₅xz  a₆yz a₇xyz , получим, что a₀=1, a₁=0, a₂=0, a₃=0, a₄=1, a₅=0, a₆=0, a₇=1

Таким образом, полином Жегалкина для функции F₁xy z имеет вид :

G(x,y,z)= xyz  xy  1.Очевидно, что данный полином не выражается линейной функцией, т.е. F₁(x,y,z)K_Л.

2) Теперь исследуем функцию F₂xy. Воспользуемся все той же таблицей истинности из задания 1, где также определена данная функция.

• F₂(0,0)=0 F₂(x,y)  K₀

• F₂(1,1)=1 F₂(x,y) K₁

• F₂(1,0)= F₂(0,1) F₂(x,y) K_C

• Из того, что (0,0)  (1,0) F₂(0,0)=0  F₂(1,0)=0; (0,0)  (0,1) F₂(0,0)=0  F₂(0,1)=0;

(0,0)  (1,1) F₂(0,0)=0  F₂(1,1)=1;

Значит, F₂(x,y,z)  K_M.

• Найдем полином Жегалкина для, данной функции. Выполнив все необходимые действия, в итоге получим, что а₀=0, а₁=0, а₂=0, а₃=0, а₄=1, а₅=0, а₆=0, а₇=0.

Таким образом, полином Жегалкина для функции F₂xy выражается в виде самой функции: G₂(x,y) = xy  F₂(x,y,z)K_Л. 3) Для функций F₃ ,F₄ ,F₅ подробное исследование проводить не будем в силу его очевидности. Все полученные результаты занесем в соответствующие строки таблицы Поста.

	K0	K1	KС	KМ	KЛ
F1	-	+	-	-	-
F2	+	+	-	+	-
F3	+	+	+	+	+
F4	-	+	-	+	+
F5	+	-	-	+	+

Итак, в каждом столбце таблицы Поста есть хотя бы один “-“‚ значит, система функций является функционально полной.