- •Односторонний предел по Гейне
- •Односторонний предел по Коши
- •Точки разрыва
- •Устранимые точки разрыва
- •Точки разрыва первого и второго рода
- •Свойства Локальные
- •Глобальные
- •Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •Площадь треугольника
- •Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
- •Простейшие свойства
- •Связанные определения и свойства Подпространство
- •Свойства подпространств
- •Базис. Размерность
- •Линейная оболочка
- •Конечномерный случай
- •Бесконечномерный случай
- •5.1.4. Действия с линейными операторами
- •Канонический вид
Площадь треугольника
, так как , то:
— формула Герона
— для прямоугольного треугольника
— для равностороннего треугольника
— если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам
— если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам
— ориентированная площадь треугольника на комплексной плоскости с вершинами в a, b, c.
Где:
— высота, проведённая на сторону ,
— полупериметр,
— радиус вписанной окружности,
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ,
— радиус описанной окружности,
— координаты вершин треугольника.
Для площади справедливы неравенства:
, причём оба равенства достигаются.
, где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.
Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .
Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:
Положим , где , , — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом
и аналогично
Площадь треугольника равна .
Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.
Площадь параллелограмма
, где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.
, где a и b — стороны, а — угол между сторонами a и b.
.
, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности
20)
Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где — площадь основания и — высота;
Прямой параллелепипед
Объём V=Sо*h
Прямоугольный параллелепипед
Объём V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Куб
Объём V=a³
21)
Уравнения плоскости
Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.
Общее уравнение (полное) плоскости
где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:
где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :
Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При ( , или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).
Уравнение плоскости в отрезках:
где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :
в векторной форме:
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:
(смешанное произведение векторов), иначе
Нормальное (нормированное) уравнение плоскости
в векторной форме:
где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
(знаки и противоположны).
22)
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), — радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве:
где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное уравнение прямой[уточнить] в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:
А1х + В1у + С1 = 0,
А2х + В2у + С2 = 0,
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :
где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.
23)
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
24)
Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле
|
(11.7) |
Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 11.9).
Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости
Вектор и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому
Откуда
|
(11.8) |
Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим
|
(11.9) |
Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).
Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .
Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как
то в обоих случаях .
По определению скалярного произведения . Откуда
и соответственно
|
(11.4) |
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
|
(11.5) |
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
|
(11.6) |
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида
и косинус угла между ними можно найти по формуле:
. (8.14)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:
- условие параллельности прямых, (8.15)
- условие перпендикулярности прямых. (8.16)
Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями
и плоскостью, определяемой общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда
(8.17)
Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:
Al + Bm + Cn = 0, (8.18)
а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов: A/l = B/m = C/n. (8.19)
25)
Линейное, или векторное пространство над полем — это непустое множество , на котором введены операции
сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
умножения на скаляр (то есть элемент поля ), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых (коммутативность сложения);
, для любых (ассоциативность сложения);
существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;
для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества называют векторами, а элементы поля — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.