17.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
Пусть
на конечном промежутке ab
задана непрер. ф-ция y=f(x).
1)Разобьем отр. ab
произв. образом на n-частей
.
Длину отрезка обозначим
i.
i=
,
i=1
Эти отр. назовем элементарными и среди
них выберем тот, длина которого
максимальна. Обозначим макс. длину элем.
отрезков
.
2)В кажд. из элем. отрезков выберем произв.
т.
и вычислим в этой внутр. т. значение
ф-ции f
.
3)По всем элем. отр. составим произведение
f
.
4)Просуммируем найденные произв. по всем
элем.отрезкам
f
.
Полученная сумма
зависит от способа разбиения отр. ab
на элем., а также от способа выбора т.
из элем. отр.
,
т.е. таких сумм ξ существует бесконечн.мн-во.
Такие суммы получили название интегр.
сумм Римана. Если существует конечный
предел последовательности интгр. Сумм
при 𝜆
,
независящей не от способа разбиения,
не от т.
,то
ф-ция y=f(x)
называется интегрируемой, а этот предел
опр. и-лом. Кратко все выше изложенное
можно записать: -
=
.
В обозначении опред. и-ла ф-ция y=f(x)
назыв. подинтегральной, a
- нижний предел интегр-ния, b
- верх. предел инт-ния. Геометр
смысл опред. и-ла. Пусть
на отр.ab
определена неотриц. ф-ция y=f(x).
y
Y=f(x)
x
Разобьем
отр. ab
сначала на 2 отр. произвольной длины. f
;
f
;
-
площадь криволин. трапеции,ограниченной
снизу отрезком ab,
слева и справа - прямыми x=a,
x=b,
а сверху графиком ф-ции y=f(x).
Геометр. смысл –
В экономике теорема о среднем для опред. и-ла нашла свое применение для нахождения средн. издержек произв-ва.
15.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.
Инт-лы
вида
рационализируются с помощью универсальной
тригонометр. подстановки t=tg
. Выразим осн. тригоном. ф-ции
через t
, т.е. с помощью унив. триг. подст.
;
;
;
;
Пр:
19.Св-ва опред. И:теорема об интегрировании нерав-в,теоремы об оценке И.
Теорема
об интегрир.нерав-в: если в люб.т.Хотр
[а;в] выполн.нерав.f(х)≤g(х),
т ф-цииf(x)
и g(x),интегрируемые
на отр. [а;в] и выполн.нерав.
.
S1≤S2.Теоремы об оценке И:1)если на отр.[а;в]
ф-ция удов. нерав. m≤f(x)≤M,то опред.И
удов.нерав.m(в-а)≤
.
Док-во:
проинтегр.наотр[а;в] всё нерав:
.Но
по св-ву линейности в лев и прав И выносим
mи
M
за И:
m(в-а)≤
≤M(в-а)
2)если y=f(x)
интегрируема на отр[а;в],│
│<
20.Теорема о среднем.Её геометр. И эк.Интерпритац.
Если
ф-ция у=f(x)непрерыв.
на отр[а;в],,то на нём сущ.т.С,такая,что И
.
Док-во:т.к. ф-ция,непрерыв.наотр[а;в],достиг.
на нём своего наим. и наиб. знач.,кот. мы
обознач. соотв. mи
M,то
m≤f(x)≤M.
На основании теор.об оценке И (1):
m(в-а)≤
≤M(в-а)
Разделим
обе части на вел-ну (в-а)>0.Имеем:m≤
≤M.
Число
заключено м/дуmaxи
minзнач.
ф-ии на отр[а;в],а т.к.ф-циянепрерыв. на
этом отр.,то на нём она приним.всезнач.,заключ.
м/дуm
и M=>на
этом отр.найдётсявнутр. тС,в кот. f(C)=
.
у=f(x)
f(C)
а с в
f(C)(в-а)=Sпрямоуг.;
=Sкриволинейн.трап.
ТО суть теоремы в том,что на отр.[а;в]для
у=f(x)
найдётся т.С,такая,чтоSпрямоуг.,постр.на
высоте f(С)и
ширине (в-а),равновелика Sкр.трап,пост.
С помощью у=f(х),прямых
х=а,х=в и отр.[а;в].В эк.эта теорема нашла
своё применение для нахожд.сред.изд.пр-ва(АС=
),где
К(х)-ф-ция,задающая изд.пр-ва,где х-
Vвып.прод-цыи.