![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Основные понятия теории множеств.
- •2. Понятие вектора.
- •3. Понятие соответствия между множествами.
- •4. Понятие отображения множеств.
- •5. Классификация множеств по мощности. Понятие счетного множества. Понятие несчётного множества.
- •6. Понятие отношения. Свойства отношений. Отношение эквивалентности, отношение строгого порядка, отношение нестрогого порядка.
- •7. Понятие операции, ассоциативной операции, дистрибутивной операции. Понятие алгебры, алгебраической системы, модели. Понятие группоида, полугруппы, коммутативной полугруппы.
- •8. Понятие группы. Группа подстановок.
- •9.Понятие кольца. Кольцо вычетов.
- •10. Определение поля
- •11. Перестановки
- •12.Перестановки с повторениями
- •13. Понятие сочетания. Теорема о числе сочетаний из n элементов по k. Свойства сочетаний.
- •Свойства сочетаний
- •14. Понятие сочетания с повторениями. Теорема о числе сочетаний с повторениями.
- •15. Понятие размещения. Теорема о числе размещений.
- •16. Понятие композиции. Теорема о числе композиций n.
- •18. Понятие композиции. Теорема о числе композиций n из k частей при рi0.
- •19. Основные понятия и определения теории графов.
- •20. Способы хранения графов в памяти эвм.
- •21. Алгоритм поиска на графах (поиск в глубину).
- •22. Алгоритм поиска на графах (поиск в ширину).
- •23. Понятие сильной связности. Анализ сильной связности с помощью алгоритмов поиска на графах.
- •25. Сильная связность. Отношение на вершинах графа называется отношением сильной связности. Сильная связность — отношение эквивалентности. Рассмотрим транзитивность:
- •26. Понятие логической функции. Способы задания логических функций.
- •27. Булева алгебра. Основные свойства операций булевой алгебры. Понятие двойственной и самодвойственной логической функции.
- •28. Алгебра Жегалкина. Основные свойства операций алгебры Жегалкина.
- •29. Алгебра Жегалкина. Представление логических функций полиномом Жегалкина.
- •33. Минимизация логических функций методом Квайна.
- •34. Понятие функционально-полной системы логических функций
- •35. 36 Понятие замкнутого класса. Класс монотонных логических функций.Понятие замкнутого класса. Класс линейный логических функций..
- •37. Теорема о функциональной полноте в слабом смысле.
- •38. Понятие замкнутого класса. Класс функций сохраняющих 0. Класс функций сохраняющих 1.
- •39. Понятие замкнутого класса. Класс самодвойственных функций.
- •40. Теорема о функциональной полноте.
8. Понятие группы. Группа подстановок.
Группой(А=<M,*>)
называется множество элементов,
на котором задана операция умножения ,
которая удовлетворяет следующим четырём
аксиомам:
Замкнутость
группы относительно операции умножения.
Для любых двух элементов группы существует
третий, который является их
произведением:
Ассоциативность операции
умножения.
Порядок выполнения умножения
несущественен:
Существование
единичного элемента.
В группе существует некоторый элемент E,
произведение которого с любым
элементом A группы
даёт тот же самый элемент A:
Существование
обратного элемента.
Для любого элемента A группы
существует такой элемент A−1,
что их произведение даёт единичный
элемент E:
Группа
подстановок
-совокупность подстановок на
некотором множестве X, образующих
группу относительно операции умножения
подстановок. Иначе,
группа подстановок.- это пара (G,
X),
где G -
группа, X
- множество
и каждому
соответствует
подстановка
множества
X такая, что 1)
,
,
и 2) х a=х для
любого
тогда
и только тогда, когда a=e - единица группы G
9.Понятие кольца. Кольцо вычетов.
Определение кольца
Кольцом
называется
множество элементов, на котором определены
две операции – сложение и умножение, и
в
выполняются
следующие аксиомы:
R.1. Множество является аддитивной абелевой группой.
R.2. Для любых двух элементов
и
из определено их произведение:
(замкнутость операции умножения).
R.3. Для любых трех элементов , и
из выполняется ассоциативный закон, т.е.
и
.
R.4. Для любых трех элементов , и из выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства:
и
.
Пример 5.8. Все целые положительные и отрицательные числа и нуль образуют коммутативное кольцо с единицей относительно обычных операций сложения и умножения.
Пример
5.9. Легко
убедиться, что полная система вычетов
по модулю
также
образует коммутативное кольцо с единицей
относительно операций сложения и
умножения по модулю
.
Кольцо
вычетов по модулю
При
описании блочных кодов [25, 30, 33] широко
используется понятие кольца вычетов
по модулю некоторого полинома
с
коэффициентами из поля
.
Для
полиномов существуют понятия, аналогичные
введенным в 5.8 для чисел, если заменить
в этих понятиях слово «число» словом
«полином». Так, если при делении
полиномов
и
из
на
получаются
одинаковые остатки, то многочлены
и
сравнимы
между собой по модулю многочлена
из
или
.
Все полиномы, сравнимые между собой по модулю , образуют класс вычетов по модулю , а каждый полином класса называется вычетом по модулю . Каждый класс характеризуется своим представителем, в качестве которого обычно выбирают полином, степень которого меньше степени . Количество классов вычетов по модулю равно числу многочленов, степени которых меньше степени .
Совокупность классов вычетов по модулю образует кольцо вычетов по модулю . В качестве операций сложения и умножения в этом кольце используются сложение и умножение по модулю .
Пример
5.13. Рассмотрим
кольцо классов вычетов по модулю
полинома
над
двоичным полем. Полиномы вида
,
где
–
произвольный полином, степень которого
меньше 2, при фиксированном
образуют
класс вычетов по модулю
.
Так как всего имеется 4 разных
полинома
степени
меньше 2, то возможны 4 следующие класса
вычетов:
Здесь
–
произвольный полином. В качестве
представителей классов обычно выбирают
вычеты наименьшей степени, которые
совпадают с полиномами
и
образуют кольцо классов вычетов по
модулю полинома
,
т.е. множество
.