- •Вопрос 1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •3.Инвариантность формы первого дифференциала
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос 7
- •Вопрос 8
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10
- •Оценка точности вычисления определённого интеграла
- •Вопрос 11
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16
- •Вопрос 17
- •Описание метода
- •Оценка погрешности
- •Вопрос 20
- •Вопрос 21
- •Вопрос 22
- •Сходимость степенных рядов
- •Признаки сходимости
- •Вопрос 23 Ряды Тейлора и Маклорена разложение основных элементарных функций
- •Вопрос 25
- •Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Вопрос 7
Методы приближенного решения уравнений:
Метод Ньютона (метод касательных)
Если x0 - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле
Если f' и f'' непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке [a, b], а f(a)f(b) < 0 , то, исходя из начального приближения x0 [a, b] удовлетворяющего условию
f(x0) f ’’(x0)>0, можно вычислить с любой точностью единственный корень уравнения f(x) = 0.
Метод половинного деления Если x0 и x1 таковы, что f(x0) f (x1)<0, то полагаем x2=(x0+ x1)/2 и вычисляем f (x2) Если x0, то корень найден. В противном случае изотрезков f (x2)=0 и [x0, x2 ]выбираем тот, на концах которого f принимает значения разных знаков, и проделываем аналогичную операция. Процесс продолжаем до получения требуемой точности.
Метод секущих (метод хорд) Если x0, x1 - приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 , а f(x0) f (x1)<0, то последующие приближения находят по формуле Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка [a, b] закреплен, т. е. вычисление приближения корня уравнения
f(x) = 0 производят по формулам:
либо При этом предполагается, что корень уравнения находится на отрезке [a, b] , а f''(x) сохраняет знак на [a, b].
Вопрос 8
План исследования функции
1. Область определения функции. (ОДЗ, вертекальные асимптоты)Точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Четность[f(x)=f(-x)], нечетность [f(x)=-f(x)], функции.
3. Переодичность (Сущ-ет T>0- наименшее, f(x+T)=f(x) )
4. Возрастание [если f ’(x)>0 => f (x)↗ (x1<x2, f(x1)<f(x2))], убывание [если f ’(x)<0 => f (x)↘ (x1<x2, f(x1)>f(x2))].
5. Интервалы монотонности. Экстремумы. (смена знаков производной, при этом в самой точке f(x0) – может не существовать) (Точки подозрительные на экстремум находят среди таких что f ’(x)=0, f ‘(x)=∞, или не сущ-ет)
6. Интервалы выпуклости (f ’’(x)<0), вогнутости(f ’’(x)>0). Точки перегиба.
5. Наклонные асимптоты
(y=kx+b, k=limx→∞ f(x)/x, b=lim(f(x)-kx)).
8. Дополнительные точки, (по мере необходимости).
Вопрос 9
Неопределённый интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.
Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) — её первообразная, то есть
F ’(x)=f(x) при a<x<b, то ,
где С — произвольная постоянная
Свойства:
(∫ f(x) dx)’=f(x)
(∫ f(x) dx)’=(F(x)+C)’=(F(x))’+C’=f(x)
d(∫ f(x) dx)=f(x) dx
d(∫ f(x) dx)=d(F(x)+C)= d(F(x))+dC=F’(x)dx=f(x) dx
∫dF(x)= F(x)+C
∫ f(x+b)dx=F(x+b)+C, b – const
∫ f(kx)dx=1/k* F(kx)+C, k – const (не зависит от x)
∫ f(kx+b)dx=1/k* F(kx+b)+C
Таблица неопределенных интегралов
Методы вычисления
Метод интегрирования по частям.
Этот метод основан на формуле .
Вычислить .
Решение. =
= .
Метод подстановки.
Пусть требуется найти , причем непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует. Часто удается найти первообразную, введя новую переменную, по формуле
, где , а t- новая переменная.
Вычислить .
Решение. Обозначим . Тогда , . Имеем
Метод введения нового аргумента.
Если то
где — непрерывно дифференцируемая функция.
Метод разложения.
Если то
Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить
Предположим, что существуют дифференцируемые функции и , такие, что тогда Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.
Например.
Классы интегральных ф-й(????????????????)