32. Теорема о мож биномиального закона распределения – условия её применения, словесная формулировка, математическая запись, доказательство, замечание.

«п» независимых испытаний, вероятность появления события А постоянна и равна «р». Чему равно среднее число появле­ний события А в этих испытаниях? Теорема. Мож М(Х) числа по­явлений события А в «n» независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

Доказательство. св Х - число наступления события А в «n» испыт. если X₁ – число появлений события в первом испытании, Х₂ – во втором, …, Х_n – в «n» - м, то общее число появления события Х = X₁ + Х₂ + …. + Х_n.

По 3 св-ву мож, Каждое из слагаемых правой части равенства есть мож числа появлений события в одном испытании: М(Х₁) – в первом, М(Х₂) – во втором и т.д. Так как мож числа появ­лений события в одном испытании равно вероятности события «p», то М(Х₁) = М(Х₂) = М(Х₃) =… = М(Х_n) = p. Подставляя в (*) вместо каждого слагаемого р, получим Замечание. по биноми­альному закону,: математическое ожидание биномиального распределения с па­раметрами «n» и «р» равно произведению «пр».Пример. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия р= 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.Решение. Попадание при каждом выстреле не зависит от ис­ходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события незави­симы и, следовательно, искомое математическое ожидание

33. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины (пояснить примером), понятие отклонения и центрированной случайной величины, теорема о МОЖ отклонения (словесная формулировка, мат.запись, доказательство).

Легко указать св имеющие одинаковые мож, но раз­личные возможные значения ДСВ. например, дсв Х и Y, заданные законами распределения: Найдем можэтих велич ин:

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения ДСВ различны. !математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует. По этой причине вводят и другие числовые характеристики.

например, пользуются, числовой характе­ристикой, дисперсией. Прежде чем перейти к определению и свойствам дис­персии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

34. Необходимость введения дисперсии, понятие дисперсии дискретной случ.величины (словесная формулировка, мат.запись, пример по определению дисперсии, замечание), формула для практического вычисления дисперсии (словесная формулировка, мат.запись, доказательство, замечание).

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их сред­нее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. М [X—М (X)], для любой случайной величины равно нулю. (отклонения положительные и отрицательные ) Эти со­ображения говорят о целесообразности заменить возмож­ные отклонения 1) их абсолютными значениями или 2) их квадратами. Чаще выбирают2ое: вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и назы­вают дисперсией.Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­чины называют математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от ее математического ожидания: Пусть случайная величина задана законом распреде­ления Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон рас­пределения: По определению дисперсии,

Т.о., для того чтобы найти дисперсию, до­статочно вычислить сумму произведений возможных зна­чений квадрата отклонения на их вероятности.Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискрет­ной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

Поопределению, Более удобна: Теорема. Дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

есть также постоянные величины.

тогда Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: Замечание. величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

35. Первое и второе свойства дисперсии: дисперсия постоянной величины (словесная формулировка, мат.запись, доказательство); дисперсия случайной величины с постоянным множителем (словесная формулировка, мат.запись, доказательство). Дисперсия числа появления события в независимых испытаниях (словесная формулировка, мат.запись).

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь первым свойством мож(мож постоянной равно самой постоянной), получим

Итак, Свойство становится ясным, если учесть, что постоян­ная величина сохраняет одно и то же значение и рассея­ния, конечно, не имеет. Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Доказательство. По определению дисперсии имеем Пользуясь вторым свойством мож(постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Итак, Свойство становится ясным, если принять во внима­ние, что при | С | > 1 величина СХ имеет возможные зна­чения (по абсолютной величине), большие, чем величина X. Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М (СХ} больше, чем возмож-

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (дисперсия биномиального закона распределения)

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п не­зависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления со­бытия в одном испытании:

36. Третье и четвёртое свойства дисперсии: дисперсия суммы двух независимых случайных величин (словесная формулировка, мат.запись, доказательство, 2 следствия); дисперсия разности двух независимых случайных величин (словесная формулировка, мат.запись, доказательство).

Свойство 3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y)=D(X)+D(Y}.Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем пользуясь свойствами мож суммы нескольких величин и произведе­ния двух независимых св, получим

Итак,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых св равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом мат. индукции. Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной вели­чины и случайной равна дисперсии св:

Доказательство. Величины С и Х независимы, поэтому, по 3 св-ву,

В силу первого свойства D (С) == 0.Следовательно, Свойство становится понятным, если учесть, что ве­личины X и Х+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу 3 св-ва По 2 св-ву, или