7. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами (теор. Док.)

Ряды с неотрицательными членами: Ряд все члены которого неотрицательны называется знакоположительным.

Критерий сходимости:

Н: Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы ограничены сверху (т.е.

Доказательство: П. знакоположительный ряд сходится. Это значит .

{S_n}- последовательность ч.с. – возрастающая. Тогда S_n<S, т.е. {S_n} – огранич., S=M.

Д: Члены последовательности ч.п. огранич. сверху. Кроме того – возрастающая, монотонно. Поэтому, по теореме Вейерштрасса (всякая монотонная возрастающая, ограниченная сверху последовательность имеет предел): – сходится.

8. Первый признак сравнения (теор. Док.)

Если начиная с некоторого номера N (для ) выполняется неравенство , то из сходимости ряда B => сходимость ряда A; из расходимости ряда A => расходимость ряда B.

Доказательство:

Не умаляя общности положим , с n=1. Если ряд B сходится => числовые суммы ограничены (по критерию сх-ти знакопол. рядов), значит ч.с. ряда A и подавно ограничены (т.к. ) => ряд A – сходится. Ряд A расходится, тогда (по критерию сх-ти знакопол. рядов) ч.с. неогранич. => ч.с. ряда B тем более неогранич. => ряд B – расходится.

9. Ряды Фурье. Ортогональная система функций. Тригонометрический ряд Фурье

Рядом Фурье для периодической с периодом T=2π функции y=f(x), определённой на интервале [-π;π], называется тригонометрический ряд:

Коэффициенты , , находятся по формулам Фурье:

10. Радикальный признак Коши.

Дан ряд ,если , то при

а) - ряд -сходится;

б) - ряд - расходится;

в) - о сходимости ничего нельзя сказать, предполагается что предел

Доказательство:

По условию теоремы, , начиная с будет выполняться условие ;

11. Интегральный признак Коши.

Пусть дан ряд , члены этого ряда являются непрерывной функцией

g(x) при целых х и пусть функция g(x) является убывающей на промежутке ,

тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ,

и расходится, если расходится ;

Доказательство:

Рассмотрим площадь криволинейной трапеции

y (x)

с другой стороны

1234……n-1 n

Пусть из (*) следует - ограничена

по критерию ряд сходится.

Пусть не существует или = следовательно из (**)следует - неограниченна, следовательно по критерию ряд сходится.