![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общие положения к типовому заданию.
- •Способ подстановки
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •6. Системы линейных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами
- •6.I. Теоретические вопросы
- •3. Найти общее решение уравнения:
- •4. Уравнения, интегрируемые понижением порядка. Найти частные решения:
- •Задачи, связанные с составлением дифференциального уравнения……………………………………………………………... 3
Способ подстановки
Будем
искать общее решение данного линейного
уравнения в виде произведения двух
функций
Продифференцируем
.
Подставляя эти значения у и y'
в данное уравнение
,
будем иметь:
(*)
Так
как решение уравнения ищем в виде
произведения двух функций, то одну из
них мы можем выбрать по своему усмотрение,
поэтому потребуем, чтобы функция V
обращала в нуль стоящее в скобках
равенство (*), т.е. найдем какое-нибудь
частное решение
или
Интегрируя, найдем
или
Замечание.
Здесь мы не выписываем производную
постоянную, т.к. нам нужно в качестве V
иметь какую-нибудь функцию ( наиболее
простую ), обращаете в ноль выражение в
скобках (*). Подставляем в (*) подученное
значение для V,
будем иметь:
Разделяем
переменные
Интегрируем
Таким
образом, общее решение будет
Учитывая
начальные условия, получим частное
решение:
3. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Задача
4. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
(1) ,
.
Решение: Данное уравнение допускает понижение порядка, так как в него не входит в явной виде y. Произведем понижение порядка.
Положим
,
тогда
.
Подставив эти значения у'
и у'' в
данное уравнение, получим
которое является уравнением с
разделяющимися переменными. Разделяем
переменные
Производим интегрирование:
Ho
p=
у', поэтому
(1), откуда
(2) - это общее решение данного
дифференциального уравнения. Найдем
частное решение. Так как
при x = 0 , то, подставляя эти значения в
(1), найдем
Условие
y=1
при x=0 подставляем в (2) (1) = с2.
Таким образом, из начальных условий
вытекает, что C1
= 3, С2
= (1) и искомое
частное решение имеет вид:
Задача 5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение.
Решение.
Данное уравнение не содержит в явном
виде x , поэтому оно допускает понижение
порядка. Положим:
,
тогда
.
При
отыскании
мы примем во внимание, что Р
есть функция от Y. Подставляя полученные
значения для
и
в данное уравнение, будем иметь:
.
После
сокращения на р
(если p = 0, то
у=С - это одно
из решений данного уравнения) мы
получим уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными (здесь
искомой функцией является
p, а
аргументом y). Разделяем переменные:
Выполняем интегрирование:
.
Находим интеграл, стоящий в правой
части
.
Следовательно,
,
Но
поэтому
Таким
образом,
есть общий интеграл данного
диффе-ренциального уравнения.
5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Задача 6. Найти общее решение уравнения
(1)
Решение.
Составим характеристическое уравнение:
;
его
корни
Общим
решением соответствующего однородного
дифференциального уравнения будет
y=c1+c2sin2x+c0cos2x.
В правой части этого уравнения стоит
сумма функций, поэтому частное решение
неоднородного уравнения будем искать
так: напишем два уравнения
(2) и
(3) и найдём частное решение сначала
для уравнения (2), обозначив его y1,
а затем для уравнения (3), обозначив
его y2,
тогда частное решение искомого уравнения
представится как
.
Правая часть неоднородного уравнения
(2) имеет форму f1(x)=4sin2x=l(0cos2x+4sin2x)
т.е. в
общем виде можно записать
Qm(x)=4;
Комплексные
числа
,
построенные по этой правой части, будут
иметь вид
и совпадут с корнями характеристического
уравнения один раз, значит кратность
R=I
и поэтому частное решение надо искать
по формуле
,
если n>m,
r=1,
lox=1
Дифферецируем:
Подставляя
значения
и
в данное неоднородное уравнение (2),
получим тожво
или,
делая приведение подобных членов,
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях тождества имеем:
-8A=4;
;
следовательно: A=1/2,
B=0.
Частное решение неоднородного линейного уравнения (2) будет
Аналогично
найдем частное решение уравнения (3).
Правая часть уравнения (3) имеет форму
,
где
, совпадает
с корнам характеристического уравнения
один раз, следовательно, кратность r =
I. Частое решение неоднородного уравнения
(3) будем искать в виде
,
для нашего случая
Дифференцируем:
Подставляя
значения
и
в уравнение (3), получим тождество:
Сравнивая коэффициенты в левой и правой части тождества, имеем:
,
Тогда частное решение искомого уравнения (1) будет:
и
общее решение имеет вид:
Задача 7. Найти вид общего решения
Решение.
Характеристическое уравнение
имеет корни
.
Значит, общее решение соответствующего
однородного уравнения будет равно
Правая часть уравнения имеет форму f(x)=f1(x)+f2(x) , где
Частное
решение
, соответствующее правой части f1(x),
ищем в виде
так как
совпадает с корнем характеристического
уравнения три раза. Получаем, что частное
решение неоднородного сравнения
(3) имеет вид
,
совпадает с корнем характеристического
уравнения два раза
,
а общее решение неоднородного уравнения
Задача
8.
Найти решение
уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
Решение.
Составим характеристическое уравнение
его корни равны соответственно
.
Следовательно, общим решением
соответствующего однородного линейного
уравнения будет:
Теперь
ищем частное решение заданного
неоднородного линейного дифференциального
уравнения
Подставляем
в заданное уравнение
или
следовательно, А=-5 и
Таким образом, общее решение данного
уравнения будет
Так
как
искомое
решение
Задача
9.
Найти общее решение
.
Решение.
Однородному уравнению
соответствует характеристическое
уравнение
его корни
Общим
решением соответствующего однородного
уравнения будет
Подобрать частное решение неоднородного
уравнения здесь нельзя, так как
правая часть не специальная ( частное
решение можно подобрать в таком
виде, в каком записана правая часть
только тогда, когда последнее имеет
вид
Поэтому для отыскания частного решения
данного дифференциального уравнения
примем метод вариации произвольных
постоянных, т.е. частное решение
будем искать в виде
, где y1,
y2
- частное решение соответствующего
линейного однородного уравнения, а
функции u(x)
и v(x)
удовлетворяют следующей системе
а функция f(x) - это правая часть данного уравнения
Составив систему уравнении для отыскания u и v.
Тогда
,
.
Интегрируем
.
Тогда частное решение уравнения будет равно
.
Общее
решение
.