23. Включение электрической цепи на напряжение произвольной формы. Интеграл Дюамеля.

Пусть произвольный пассивный двухполюсник подключен к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рис. 5.18.

Решение:

Для вычисления тока определим переходную функцию h(t):

0< t< t₁: .

Для учета скачка напряжения в точке t = t₁ будем считать, что в этот момент к двухполюснику прикладывается отрицательное постоянное напряжение U = u₂(t₁) – u₁(t₁). Кроме того, учтем составляющие тока от начального скачка напряжения u₁(0) и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой u₁(t) и действующего от t=0 до t=t₁. В результате получим:

Для промежутка t₂ < t <  включается постоянное напряжение u = – u₂(t₂).

В итоге:

При подключении активного двухполюсного элемента к источнику напряжения, расчет проводится по принципу наложения.

Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в 4 этапа:

1. Определение переходной функции h(t) для исследуемой цепи.

2. Определение h(t – ). С этой целью в функции h(t) заменяют t на (t – ).

3. Определение u’(). Для этого находят производную от заданного напряжения u(t) по времени t, и в полученном выражении заменяют t на .

4. Подстановка найденных на этапах 1, 2, 3 функций в формулу интеграла Дюамеля, интегрирование по переменной  и подстановка пределов.

Таким образом, если определена характеристика h(t), то при помощи интеграла Дюамеля можно определить реакцию системы при любой форме внешних воздействий.

24. Возникновение переходных процессов и законы коммутации.

В электрических цепях могут происходить события, приводящие к изменениям параметров или в топологии схемы. Такие изменения называются коммутациями. Примером коммутации могут быть:

• подключение (отключение) источника;

• короткое замыкание в какой-либо ветви;

• резкое изменение амплитуды или фазы источника.

На схемах для обозначения коммутации используют ключевой элемент с указанием стрелочкой вида коммутации (замыкание, размыкание) и момента времени.

Ключ считается идеальным элементом. Сопротивление ключа в открытом состоянии принимается равным нулю, а закрытом – бесконечности. Время коммутации есть бесконечно малая величина, то есть переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.

Момент коммутации является границей между, так называемыми, до коммутационным (предшествующим) и переходным процессами (ПП). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, но на практике это время считают конечным в силу затухающего характера переходного процесса. Во время переходного процесса электрическая величина стремится к некоторому установившемуся значению, по достижению которого с точностью до 99%, переходный процесс считают закончившимся. Дальнейшее состояние цепи называют установившимся процессом.

Рис. 1.1

Учет переходных процессов при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств, как правило, обязателен. Например, в момент пуска двигателя в его обмотках могут возникать пусковые токи в несколько раз превышающие номинальные токи. Возможны в цепях и коммутационные перенапряжения, способные вызвать пробой изоляции, и как следствие, короткое замыкание.

Расчет переходных процессов основывается на решении (интегрировании) дифференциального уравнения, которым искомая величина (ток, напряжение, потокосцепление, заряд) связана с независимой переменной t – временем. Это уравнение получается из системы интегро-дифференциальных уравнений, которыми можно описать цепь по законам Кирхгофа. Оно называется линейным обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами вида

(1.1)

Для его однозначного разрешения должны быть определены n начальных условий (НУ) (1.2), которым удовлетворяют постоянные интегрирования:

(1.2)

Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что решением уравнения (1.1) является сумма его частного решения для и общего решения однородного дифференциального уравнения вида (1.3)

Частное решение уравнения (1.1) называют установившейся или “принуждённой” составляющей, а решение уравнения (1.3) называют свободной составляющей

(1.4)

Ток свободной составляющей переходного процесса обусловлен разницей энергий реактивных элементов до коммутации и в установившемся режиме. Ток принужденной составляющей обусловлен действием источников в цепи после коммутации.

I закон коммутации:

Ток через индуктивность непосредственно до коммутации i_L(0_–) равен току через туже индуктивность непосредственно после коммутации: i_L(0_–) = i_L(0₊).

II закон коммутации: u_c(0_–) = u_c(0₊).

В общем случае задача анализа переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов или напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации и может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t>0.