Модуль 1 электростатика

Комплексная цель данного модуля - познакомить студентов с методикой решения задач по теме «Электростатика», сформировать навыки самостоятельного решения задач.

Основные формулы

Закон Кулона

,

где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Q₁, и Q₂; r — расстояние между зарядами;  — диэлектрическая проницаемость среды; ₀ — электрическая постоянная:

.

Закон сохранения заряда

,

Напряженность электрического поля

,

где — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля.

Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле,

или ,

где  — угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; E_n — проекция вектора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле,

Ф_E=ЕScos.

Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q_l, Q₂, . . ., Q_n,

,

где — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п — число зарядов.

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда,

.

Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<.R)

E=0;

б) на поверхности сферы (r=R)

;

в) вне сферы (r>R)

.

Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля, созданного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:

.

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии r от ее оси,

,

где — линейная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

где — поверхностная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плоского конденсатора)

.

Связь электрического смещения с напряженностью электрического поля

Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

Теорема Гаусса для вектора . Поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды Q₁,Q₂, ...,Q_n,

,

где п—число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности.

Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии r от заряда

.

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии гот центра сферы:

а) внутри сферы (r<R)

;

б) на поверхности сферы (r=R)

;

в) вне сферы (r>R)

.

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах  есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q₁, Q₂, ..., Q_n

,

где _i — потенциал поля, создаваемого всеми п–1 зарядами (за исключением 1-го) в точке, где расположен заряд Q_i.

Связь потенциала с напряженностью электрического поля

= –grad.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал ₁, в другую, имеющую потенциал ₂,

A=Q(₁—₂), или ,

где E_l — проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl — перемещение.

Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора

,

где Q - заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Δφ - изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε,

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

Электрическая емкость плоского конденсатора

где S - площадь пластины; d - расстояние между пластинами; ε - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)

Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:

где п - число конденсаторов;

Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:

C=C₁+C₂+...+C_n;

Энергия заряженного проводника:

Энергия заряженного конденсатора

где С- электрическая емкость конденсатора; U - разность потенциалов на его пластинах.

Объемная плотность энергии

где Е - напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε; D - электрическое смещение.