Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:x + y - 3z = 2, 3x - 2y + z = - 1, 2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: ~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: .

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7

ИЗ ТЕТРАДИ:

Метод Гаусса

Метод состоит из двух частей- прямого и обратного хода.

Прямой ход заключается в поведение расширение матрицы СЛУ к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. В ступенчатом виде матрице каждая последующая строка имеет в начале нулей больше, чем предыдущая – или она нулевая

Пример:

Э лементарные преобразование строк матрицы- это:

1)прибавление чисел одной строки матрицы, умножены на какое-нибудь число, к одной из нижних строк матрицы.

2)Перемена двух строчек местами

Обратный ход метод Гаусса заключается в последовательном выражении одних переменных через других, начиная с нижней нулевой строки. В результате получается общее решение.

После прямого хода возможны 3 варианта ступенчатого вида расширенной матрицы:

1)Каждая след.строка имеет в начале ровно не один ноль больше, чем предыдущая

Пример:

Записываем по строчкам уравнение и начинаем находить значение переменных с нижней строчки.

4 Х₄=8 Х₄=2

Подставляем в предыдущее уравнение

2Х₃-3Х₄=-8 т.е. 2Х₃-3_*2=-8 или 2Х₃=-2,  Х₃=-1 , подставляем Х3 и Х4 во вторую строчку и т.д. Получаем единственно решение СЛУ

2) Число ненулевых строк меньше числа переменных. Тогда одни из строк содержит в начале нулей по крайней мере на 2 больше предыдущей и считаем, что последующая ненулевая строка не имеет вид(0…0 b) где число b=0

Например:

3 ) Последняя ненулевая строка имеет вид (0…0/b),где b=0 ей соответствует противоречивые равенства о=b,поэтому система несовместима

Решение СЛУ методом Гаусса

2 Х₁+3Х₂+Х₃=1

4Х₁+5Х₂+4Х₃=7

6Х₁+10Х₂-3Х₃=-10

Составляем расширенную матрицу прямой ход.