- •Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Статистическое и классическое определение вероятности
- •Аксиомы тв
- •Размещения, перестановки и сочетания
- •Правила суммы и произведения
- •Условная вероятность
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства
- •Функция распределения и её свойства
- •Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Распределения дискретной случайной величины
- •Распределения непрерывной случайной величины
- •Закон больших чисел
- •Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема
- •Многомерные случайные величины. Определение системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
- •Функция распределения двумерной случайной величины и её свойства
- •Двумерная плотность вероятности и её свойства. Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения
- •Зависимые и независимые случайные величины. Корреляционый момент. Коэффициент корреляции
- •Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на плоскости
- •Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. Линейная корреляция. Нормальная корреляция.
- •Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда
- •Основные понятия математической статистики. Числовые характеристика вариативного ряда
Аксиомы тв
Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события
Если события А1…Аn попарно-несовместны, то вероятность события их суммы = сумме вероятностей каждого из этих событий
Р(А1+…+Аn )=Р(А1)+…+Р(Аn ) – аксиома счетной аддитивности
Вероятность достоверного события равна 1. Р(U)=1
Свойства:
Вероятность достоверного события = 1(если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует испытанию,в этом случае m=n , значит Р(А)=m/n = 1)
Вероятность недостоверного события = 0 (если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует испытанию,в этом случае m=0 , значит Р(А)=m/n = 0)
Р(А)€[0;1] (случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных элементов, в этом случае 0<m<n, значит 0≤ m/n≤1)
Р(А)+Р(¬А) = 1(события А и ¬А – противоположные, значит образуют полную группу, А + (¬А) = U, а p(U)=1)
Для любых 2-х событий А и В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) (т.к. A=A*B+A*(¬B) =>p(A)= p(A*B)+p(A*(¬B))
A+B=B+A*(¬B) =>p(A+B)=p(B)+p(A*(¬B))
p(A+B) - p(A) =p(A*B)+p(A*(¬B)) - p(B)+p(A*(¬B))
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Теорема1. Пусть последовательность событий А1, А2… такова, что каждое следующее является частным случаем предыдущего А1ƆА2ƆА3, тогда
Limn-∞An=P(A), A=А1*А2*А3…
Размещения, перестановки и сочетания
При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Основные такие комбинации:
Перестановка – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Без повторений: Рn=n!
С повторениями: Pab…z= (n-кол-во всех элементов, a,b…z-кол-во повторяющихся элементов)
Размещение - комбинации из n элементов множества, содержащего k различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Без повторений: Аkn=
C повторениями: Аkn=nk
Сочетание - неупорядоченные наборы из n элементов множества, содержащего k различных элементов
Без повторенийCkn=
С повторениями Сkn=Сn+k-1
Правила суммы и произведения
Правило суммы.Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов mспособами, а объект В n способами, то выбор «А или В» может быть осуществлен «m+n» способами.
Правило произведения.Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а послетакого выбора объект В может быть выбран n способами, то пара объектов «А и В» могут быть выбраны «m*n» способами.
Формула, обобщающая правило суммы(ф-ла включений и исключений):
Если мн-во А и В содержит соответственно mи lэлементов, а их пересечение содержит pэл-тов, то =m+n-pэлементов
.
Для любых подмножеств А1, А2…Аnнекоторого множества Х справедливо:
Условная вероятность
Вероятность события А при условии, что произошло событие В называется условной вероятностью
Пусть множество элементарных событий W состоит из nэлементов. Событию А благоприятствует mэлементов, событию В – kэлементов, А*В (одновременно) – rэлементов. Тогда: Р(А/В)= =
Если для событий А и В выполняется равенство Р(А/В)= Р(А), то говорят, что события А и В несовместны, значит
События В1, …, Вnназываются независимыми в совокупности ,если выполняется неравенство P(В1* …* Вn) =P(В1)*…*P(Вn)