Механический смысл частных производных
- скорость изменения функции z = f(x,y) вдоль оси Ох, а - скорость изменения функции вдоль оси Оу.
Геометрический смысл частных производных функции 2-х переменных
Рассмотрим поверхность – график функции z = f(x,y), точка A(x0,y0,z0) лежит на поверхности. Через нее проведем плоскость Q параллельно плоскости yOz (x = x0), которая пересечет поверхность по линии АВ. Кривая АВ плоская, т.к. АВ Q. Во всех ее точках х зафиксировано: x = x0. Уравнение АВ: z = f(x0,y). Производная этой функции совпадает с производной исходной функции по переменной y в точке (x0,y0). Т.к. z = f(x0,y) –функция одной переменной, то ее производная – угловой коэффициент касательной к кривой АВ в точке A(x0,y0,z0): = tg.
Аналогично определяется геометрический смысл частной производной по переменной х.
3.2. Понятие о дифференцирумости функции 2-х переменных
Для функции одной переменной y = f(x) понятие дифференцирумости в точке х0 заключается в выполнении условия:
f(x0) = Ax + (x)x, где (х)0, если х0,
а выражение df(x0) = Ax = f’(x0)dx называлось дифференциалом функции f(x) в точке х0.
Определение 3.5. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки М0(x0,y0)D(f): U(M0,), пусть точка М(x,y)D(f). Дадим переменным х и у приращения x и у так, чтобы точка (х0 + х, у0 + у) U(M0,). Разность
f(x0 ,у0) = f( х0 + х, у0 +у) – f(x0,y0) (3.1*)
называется полным приращением функции f в точке М0(x0,y0).
Определение 3.6. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке М0(x0,y0), если ее полное приращение в этой точке представимо в виде:
f(x0 ,у0) = Ax +Вx + (x, у)x + (x, у)у, где , 0,
если x, у0, А, ВR. (3.1)
Теорема 3.1 (необходимое условие дифференцирумости). Если функция
z = f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0), то
1) она непрерывна в этой точке;
2) она имеет частные производные в этой точке.
1) пусть функция f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0), т.е. ее полное приращение можно представить в виде равенства (3.1).
Устремив в (3.1) x, у0, получим f(x0 ,у0) 0 (3.2)
С другой стороны, если обозначить х0 + х = х, у0 + у = у,то если
x, у0 х х0, уу0.
Из
условий (3.1*) и (3.2)
функция
z=f(x,y)
непрерывна в точке М0.
2) положим в формуле (3.1*) у= 0. Имеем, что
f(x0 ,у0) = f( х0 + х, у0 ) – f(x0,y0)= хf (x0,y0)= Ax + (x,0)x
=
=
А =
. (3.3)
Аналогично, положив в (3.1*) х= 0, то
= В =
(3.4)
Таким образом мы доказали, что частные производные существуют.
Следствие. Если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0),
то ее приращение в этой точке имеет вид:
f(x0 ,у0) = x + y + (x, у)x + (x, у)у,
где , 0, если x, у0. (3.5)
Замечание 3.3. Условия непрерывности и существования частных производных функции z = f(x,y) в точке М0(x0,y0) не являются достаточными для дифференцируемости функции в этой точке.
Теорема 3.2 (достаточное условие дифференцирумости). Если функция
z = f(x,y) непрерывна в точке М0(x0,y0) и имеет непрерывные частные производные в окрестности этой точки, то f(x,y) дифференцируема в точке М0.
Докажем дифференцируемость функции f в точке М0, т.е. возможность представления приращения функции в виде (3.5).
Рассмотрим
f(x0 ,у0) = f( х0 + х, у0 +у) – f(x0,y0)= ( f( х0 + х, у0 +у) –f(x0,y0 +у))+
+ f( х0, у0 +у) – f(x0,y0)).
Будем
считать, что выражение в первых скобках
является функцией f
от переменной х,
во вторых – от переменной у. Т.к. функции
и
на отрезках
и
соответственно имеют производные,
которые непрерывны в окрестности точки
(согласно условию теоремы), то применяя
теорему Лагранжа, получим:
где
,
,
зависят от
. (3.6)
Т.к при стремлении x 0: x0 + 1xx0, а при у0: у0 + 2уу0, и из условия непрерывности частных производных найдем
и 
Используем необходимое и достаточное условие существования предела функции
(
f(x)=
A
+ (x),
(x)0
).
Таким образом,
и
,
(3.7)
где , 0, если x, у0.
Подставим формулы (3.7) в формулу (3.6) и получим равенство (3.5).