16. Базис и ранг системы векторов.

Базисом системы векторов называется содержащая максимальное количество векторов ее линейно независимая подсистема.

Число векторов в базисе называется рангом системы векторов.

Теорема: Ранг системы векторов равен рангу матрицы этой системы векторов. Базисом n-мерного векторного пространства называется n линейно независимых векторов этого пространства. Теорема: Система векторов а_1, а_2… а_{n Э} Rⁿ будет базисом этого пространства тогда и только тогда, когда определитель ≠ 0.

17. Линейный оператор. Собственные векторы и собственные значения матриц.

Отображение А, кот каждому х их некоторого пространства Rⁿ сопоставляет единственный у из R^m наз оператором, действующим из Rⁿ в R^m

Если выполняется условие А(х+у)=А(х)+А(у) – аддитивный оператор.-линейные

Если выполняется условие А(λх)= λА(х) – однородный оператор. – линейные

Число λ наз собственным значением квадратной матрицы А если существует вектор х такой, что Ах= λх. В этом случае х – собственный вектор матрицы А.

18. Прямая на плоскости. Основные уравнения.

1.Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b

2.Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом: y-y₁=k(x-x₁)

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: y-y₁/y₂-y₁₌ x-x₁/x₂-x_1. Если y₁=y₂, то y=y₁, параллельна оси ОХ.

4. Уравнение прямой «в отрезках»:x/a+y/b=1

5.Общее уравнение прямой: . В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени: Ax+By+C=0.

19. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых.

Расстояние от точки до прямой: d=│Ax₀+By₀+C│ / √A²+B²

Угол между прямыми £₁ и £₂ ─ это угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую £₁ до совпадения с прямой £_2: tgφ=tg (a₂-a₁)=tga₂-tga₁/1+tgatga₂

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

£₁: Ax₁+By₁+C₁=0, £₂: Ax₂+By₂+C₂=0

A₁/A₂≠B₁/B₂ - прямые пересекаются, A₁/A₂=B₁/B₂≠С₁/C₂ –ппрямые параллельны,

A₁/A₂=B₁/B₂=С₁/C₂ - прямые совпадают