- •9. Дифференциальные уравнения
- •9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнения в полных дифференциалах
- •9.2. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •9.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения произвольного порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4. Некоторые уравнения, допускающие понижение порядка
9. Дифференциальные уравнения
Общий вид дифференциального уравнения следующий:
F(x, y, y/, y//,…, y(n)) = 0.
Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, n – наивысший порядок производной, с которым искомая функция входит в уравнение. Значение n называется порядком дифференциального уравнения.
Часто имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно производной. Например, уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид
y// = f(x, y, y/ ).
Решением дифференциального уравнения в интервале (, ) называется функция y = y(x), обращающее это уравнение в тождество по переменной x.
Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y/ =f(x), решениями которого, очевидно, являются все первообразные функции f(x): y = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Таким образом, задача интегрирования есть частный случай задачи решения дифференциального уравнения.
Как правило, решение дифференциального уравнения n-го порядка определяются с точностью до n произвольных постоянных. Например, решениями дифференциального вида
y/// = 2x + 1
являются функции y(x, C1, C2, C3) = + C1 + C2 x + C3.
9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:
F(x, y, y/) = 0. (1)
Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, имеют общий вид
= f(x, y). (2)
Пусть ставится задача: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y(x0) = y0. Эта задача называется задачей Коши с начальными значениями (x0, y0).
Теорема существования и единственности. Для того, чтобы задача Коши имела единственное решение в некоторой области G начальных значений (x0, y0) достаточно, чтобы функция f(x, y) была непрерывна в области G вместе с f y/ (x, y).
Г рафик решения y = y(x) дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Теорема утверждает, что через каждую точку области G, в которой непрерывны f(x, y) и fy/(x, y), проходит, и притом единственная, интегральная кривая (рис.1).
рис.1
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение (2) легко преобразовать к более общему виду, симметричному относительно переменных x и y:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. (3)
Определение. Уравнение (3) называют уравнением с разделяющимися перемененными, если его коэффициенты M и N представимы в виде
M(x, y) = M1(x)M2(y), N(x, y) = N1(x)N2(y).
Рассмотрим способ решения (интегрирования) уравнения
M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0. (4)
Предположим, что M2(y) 0, N1(x) 0. Деля обе части (4) на M2(y)N1(x) имеем
dx = – dy. Интегрирование этого уравнения дает равенство
dx = – dy + C.
Если интегралы вычислены, то получим соотношение (x) = (y)+C, которое можно записать в виде
(x, y, C) = 0. (5)
Соотношение (5) является общим интегралом дифференциального уравнения (4). При определенных условиях из (5) можно явно найти
y = y(x, C). (6)
Выражение (6) является общим решением дифференциального уравнения (4). Подставляя в (6) вместо С различные значения, получаем частные решения.
Иногда общий интеграл (5) можно разрешить относительно переменной x. В этом случае, учитывая симметричный вид уравнения (4), удобно посмотреть на x как на искомую функцию, а на у – как на независимую переменную. Тогда общее решение имеет вид
x = x(y, C). (7)
В случае, когда представление (6) в явном виде невозможно или нецелесообразно, можно остановится на соотношении (5).
Если для некоторого числа y* будет M2(y*) = 0, то y(x) = y* – решение (4), поскольку dy = 0. Аналогично x(y) = x* – решение (4), если для некоторого числа x* выполняется N1(x*) = 0. Заметим, что эти решения, как правило, не являются частными решениями, т.е. они не могут быть получены из общих решений (6) и (7) ни при каких значениях С. Такие решения называют особыми или специальными.
Общее решение (6) дифференциального уравнения (4) обладает следующими свойствами.
Для любого значения С функция y = y(x, C) является решением дифференциального уравнения (4).
Для любых начальных данных (x0, y0) существует такое значение C = C*, что функция y = y(x, C*) является решением задачи Коши.
Эти свойства составляют содержание определения понятия общего решения для произвольного дифференциального уравнения первого порядка (1).
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
(x – xy2)dx + (y – yx2)dy = 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде x(1 – y2)dx + y(1 – x2)dy = 0. Теперь видно, что имеем уравнение с разделяющимися переменными. Считая x 1, y 1, разделяем переменные и интегрируем:
= – , = – ln|1 – x2| = ln|1 – y2| + C1.
Получаем общий интеграл ln|1 – x2| + ln|1 – y2| = –C1, где C1 – произвольная постоянная. Его можно преобразовать, представив произвольную постоянную в виде C1 = – lnC (C > 0), т.к. – lnC, как и C1, может принимать значения от – до +. Итак, ln|1 – x2| + ln|1 – y2| = lnC или ln|1– x2| + ln|1– y2| = lnC. В более простом виде общий интеграл запишется формулой |1–x2||1–y2|=C. Кроме того, имеются еще четыре специальных решения x = 1, y = 1.
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения = by (b 0) с начальными значениями y(0)=1.
Решение. Перепишем исходное уравнение в виде = bdx. После интегрирования получаем ln |y| = bx + C1. Произвольную постоянную представим в виде C1 = ln |C|, C 0. Имеем ln |y| = bx + ln |C|. Потенцируя, получим |y| = |C|ebx. Если y<0, то C<0; если y>0, то C>0. Поскольку y = 0 – специальное решение, то общее решение дифференциального уравнения = by записывается в виде y(x, C) = Cebx, где C – произвольная постоянная. Теперь определим значение C из условия y(0)=1: y(0, C) = Ceb0 = C = 1. Получаем окончательный ответ: y(x) = ex.
Уравнения вида y/ = f(ax + by + c) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z = ax + by + c.
Пример 3. Решить уравнение y/ = .
Решение. Используя замену z = 4x + 2y – 1, получаем z/ = 4 + 2y/, откуда y/ = – 2. Исходное дифференциальное уравнение примет вид – 2 = или z/ = 2(+ 2). Разделяя переменные, получим уравнение = 2 dx. Имеем при z = t2, dz = 2t dt:
= = 2 dt = 2 [1 – ]dt = 2t – 4 ln |t+2| + C1 = 2x,
поскольку 2x – первообразная для постоянной функции, равной 2. Т.к. t = = , то взяв в качестве произвольной постоянной C = – и сократив на 2, получаем общий интеграл
– 2ln(+ 2) = x +C.
Однородные дифференциальные уравнения вида y/ = f(y/x) (или уравнения, которые могут быть записаны в этом виде после некоторых преобразований) заменой y =z(x)x приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример. Решить уравнение xdy = (x + y)dx.
Решение. Данное уравнение легко приводится к однородному:
= = 1 + ;
при этом x = 0 – специальное решение. Пусть y = zx, y/ = z/x + z. Тогда
z/x + z = 1 + z или = , откуда = z = ln |x| + C. Итак, окончательно запишем решение рассматриваемого уравнения: y = x(ln |x| + C) или x = 0.