![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •5. 3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6 Приложение определенного интеграла в геометрии
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •5.5Признак сравнения рядов
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •6.4.Свойства степенных рядов .
1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
Пусть т.М0(х0;у0) – критическая точка, т.е. f 'х(x0;y0) в этой точке =0 и f 'y(x0;y0)=0 и в некоторой окрестности точки М0 и в самой точке М0 ф–ция имеет вторые частные производные: f ''xx, f ''xy, f ''yy. Тогда если определитель
,
то ф–ция в точке М0 имеет экстремум и если:
>0,
то это минимум
<0,
то это максимум
Если Δ<0, то экстремума нет.
Если Δ=0, то вопрос об экстремуме остаётся открытым: требуется дополнительное исследование.
2.1Первообразная ф–ция, неопределённый интеграл и их св–ва
Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x)/
Задача об отыскании первообразной для данной ф–ции f(x) решается неоднозначно, т.к. если F(x) является первообразной для f(x), то ф–ция F(x)+C тоже является первообразной для f(x), т.к. (F(x)+C)'=F'(x)=f(x).
Т. Если F(x)–первообразная для f(x) на некотором промежутке Х, то всякая другая первообразная дляf(x) на этом промежутке может быть представлена ввиде F(x)+C.
Док–во: Пусть Ф(х)–другая первообразная.
Тогда (Ф(х)–F(x))'=Ф'(х)– F'(x)= f(x)– f(x)=0.
Итак мы получили, что производная этой ф–ции Ф(х)– F(x)=0, следовательно эта ф–ция равна постоянной, т.е. Ф(х)– F(x)=С
Ф(х)= F(x)+С ч.т.д.
Опр.Множество
всех первообразных для ф–ции f(x)
называется неопределённым интегралом
от ф–ции f(x) и обозначается
f(x)–подинтегральная ф–ция
f(x)dx–подинтегральное выражение
x– переменная интегрирования
Отыскание неопределённого интеграла от подынтегральной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.
2.5Интегрирование рациональных функций, б) некоторых иррациональных. J – знак интеграла
А)Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), где P(x),Q(x) – многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя. Решается данная задача с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Если знаменатель разлаживается на множители Q(x)=(x-a)α(x-b)β...(x2+px+q)γ...(x2+kx+r)δ , то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей: P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...+Aα/(x-a)α+B1/(x-b)+B2/(x-b)2+...+Bβ/(x-b)β+..., где α, β принадлежат N. Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х (первый способ). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве х равным числам, подобранным соответствующим образом (второй способ).
Б) Интегралы вида J R(x, ((ax+b)/(cx+d))p/q,....,((ax+b)/(cx+d))s/r) dx, где R – рациональная функция, p,q,s,r – целые числа. Этот интеграл находится с помощью подстановки t=корень m-ой степени из ((ax+b)/(cx+d)), m - наименьшее общее кратное чисел q,...,r.
3.1 Определенный интеграл
Пусть ф. у = f(х)
опр-на на отр. [а; b]. Разобьем отрезок
[а; b] на n
произвольн. частей точками а = x0<x1<x2<…<xn
= b.
Точки x0,
x1,
x2,…,xn
наз-ся т-ми
разбиения. В каждом из полученных
частичн. отр-в [xi-1;
xi]
выберем произв. образом точку ξ, xi-1
≤ ξ ≤ xi.
Длину частичн. отр. обозначим ∆xi
= xi
- xi-1.
Сост-м сумму (1): σ
= f(ξ1)
∆x1
+ f(ξ2)
∆x2
+…+f(ξn)
∆xn
=
.
Сумма «сигма» назыв-ся интегральной
суммой для функции f(x)
на отрезке [a,
b]
соотв-щей данному разбиению отрезка
[a,
b]
на частичн. отр-ки и данному выбору точек
ξi.Обозначим
через λ длину наибольшего отрезка
разбиения.
Опр-е:
Если сущ-ет конечный независящий от
способа разбиения отрезка [a,
b]
на частичные отрезки и от выбора точек
ξi
соответствующих частичных отрезков
[xi-1;
xi]
предел интегральной суммы (1) при
, то этот предел называется определенным
интегралом от функции f(x)
на пром-ке от a
до b
и обозн-ся
(2)В этом случае ф-ция называется
интегрируемой на отрезке [a,
b],
a
– нижний предел интегрирования, b
– верхний предел интегрирования.
Геометрический
смысл опред-ого интеграла. Пусть
f(x)≥0
на отрезке [a,
b]
y=f(x) x=a
x=b y=0
Площадь ступенчатой фигуры:
σ = f(ξ1) ∆x1 + f(ξ2) ∆x2 +…+f(ξn) ∆xn =
равна интегральной
сумме для ф-ции f(x)
на отрезке [a,
b].
Если сущ-ет
,то
его прин-юза площадь криволинейной
трапеции.Необходимое
условие интегрируемости функции
Теорема: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство:
Предположим противное, т.е., что ф-ция
f(x)
не ограничена на отрезке [a,
b],
тогда она не ограничена хотя бы в одном
частичном отрезке, например в отрезке
[ak-1,
ak],
тогда за счет выбора точки ξk
выражение f(ξk)∆xk
можно сделать сколь угодно большим,
значит и интегральная сумма σ=
тоже будет сколь угодно большой и ее
предел
не будет существовать, а это значит,
что
не существует, что противоречит условию,
а из этого следует, что ф-ция f(x)
ограничена на отрезке [a,
b].