1.4. Схема алгоритма
Начало
Ввод
a,b,eps
да
|b-a|<eps
нет
c=(a+b)/2
нет
F(a)*F(c)<0
a=c
b=c
да
x=(b+a)/2
Конец
Рис. 1.3 Схема алгоритма программы
1.5. Текст программы
DECLARE FUNCTION F! (x!)
REM РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОЛОВИНН. ДЕЛЕНИЯ
CLS
REM ВВОД ДАННЫХ
PRINT " Решение нелинейного уравнения "
PRINT " Л е м е ш к о А л е к с а н д р П е т р о в и ч ЭНФ - I-1"
PRINT " Уравнение x=3*cos(x) приводится к виду f(x)=0: 3*cos(x)-x=0"
PRINT : PRINT
REM ввод данных
PRINT "введите "
INPUT "a - ", a
INPUT "b - ", b
PRINT "введите точность для поиска решения (еps) ";
INPUT eps
REM основной цикл
DO WHILE (ABS(b - a) >= eps)
c = (a + b) / 2
IF F(a) * F(c) < 0 THEN
b = c
ELSE
a = c
END IF
LOOP
REM вывод результатов
PRINT : PRINT
PRINT "РЕЗУЛЬТАТЫ:"
PRINT "Конечный интервал [a b]:"
PRINT USING "a = #.#####"; a;
PRINT USING " b = #.#####"; b
x = (a + b) / 2
PRINT USING "Kорeнь = #.##### "; x;
PRINT USING "f(#.#####"; x;
PRINT USING ") = #.#######"; F(x)
FUNCTION F! (x!)
F = 3 * COS(x) - x
END FUNCTION
1.6. Результаты работы программы
Рис. 1.4 Результаты работы программы
2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
2.1. Формулировка задания
Реализовать программу на языке Q-Basic, которая осуществляет вычисление интеграла методом Симпсона. Подынтегральная функция
;
интервал [1 9]
2.2. Алгоритм
Способ получения формул для вычисления
приближенного значения интеграла в
методах численного интегрирования
состоит в следующем. Интервал интегрирования
[a b]
разбивается на n элементарных
отрезков. Точки разбиения
называют узлами интегрирования, а
расстояния между узлами
– шагами интегрирования. В частном
случае шаг интегрирования может быть
постоянным
. На каждом частичном отрезке интегрирования
подынтегральная функция аппроксимируется
интерполяционным полиномом. В этом
случае вычисление частичных интегралов
в формуле
(2.1)
не составляет труда.
Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат даст метод. Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.
Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1'):
(2.2)
Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, формула (3.1) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (см. рис.) .
Рис. 2.1 Иллюстрация метода трапеции
Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в более простом методе – методе прямоугольников.
Приведя в формуле (2) подобные члены, окончательно получим
(2.3)
Формулу (2.3) называют формулой трапеций. Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений.