6. Операции над соответствиями. Объединение, пересечение, дополнение, инволюция (обратное) соответствия, композиция соответствий.

Поскольку соответствия между соответствия можно считать множествами, к ним можно применять все операции над множествами. Объединение, пересечение, дополнение соответствий выполняются аналогично операциям над множествами.

• Инволюция (обращение): если , то инволюция состоит из таких пар , что . Иногда вместо пишут . Ясно, что .

• Композиция (умножение) соответствий. , , произведение RS состоит из таких пар (a, c), для которых найдется элемент такой, что , . Умножение соответствий ассоц. и обладает следующими св-вами: если , то ; .

7. Прямое и обратное соответствие Галуа и его роль в проективном распознавании образов. Свойства соответствий Галуа. Замкнутое подмножество.

Всякое соотв. устанавливает соотв. Галуа между подмножествами множества A и B. Если , то соответствие Галуа это множество .

Обратное соотв. Галуа. Аналогично, для вводится множ. .

Св-ва соответствий:

• Из следует ; из следует ;

• Пусть , , тогда , .

Замкнутое подмножество — ( ), при если X = X* (Y = Y*). Соответствие Галуа устанавливает биективное соответствие между замкнутыми подмножествами в A и B.

8. Бинарное отношение. Способы задания. Рефлексивное, симметричное, антисимметричное, асимметричное, транзитивное отношения.

Бинарное отношение — обычно 2-местное соответствие, зад. на 1 множ. .

. Соответствие R:

• рефлексивное, если R явл. надмнож. единич. матрицы: ( ). В матрич. представ. на глав. диаг. стоят только 1; в противном случае — антирефлексивное (арефлексивное);

• симметричное, если отношение равно своему дополнению: ( ). Есть симметрия, глав. диаг. из едениц;

антисимметричное, если отношение и его дополнение образуют единич. матр. при пересечении: ( ). Нет симм., могут быть 1 на глав. диаг.;

асимметричное, если отношение и его дополнение образуют пустое множ. при пересечении: ( ). Нет симметрии, нет 1 на глав. диаг.;

• транзитивное, если квадрат отношения явл. подмнож. исх. отнош.: ( ).

9. Эквивалентное отношение. Классы эквивалентности. Фактор–множество по отношению эквивалентности. Толерантное отношение, отношение порядка и предпорядка. Отношение строго и нестрого порядка. Отношение полного (линейного) и неполного порядка.

Отношение R:

• эквивалентно, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно

• толерантно, если оно рефлексивно и симметрично;

• предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно;

• порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Классы эквивалентности — непересек. подмножества эквивалентного отношения R (зад. на множ. M), такие что , . ∀ 2 эл-та из одного класса эквивалентны, из разных классов — не эквивалентны.

Фактор-множество множества A по отношению R — множество классов эквивалентности (#: ).

Число классов эквивалентности отношения эквивалентности R называют индексом множества A.

Отношения порядка:

• Нестрого порядка: транзитив., антисимм., рефлексив. Строгого порядка: транзитив., антисимм., арефлексив.

• Полного (линейного) порядка, если: 1) ; 2) .

В противном случае — частич. (неполного) порядка.

1. Отношения и явл. отношениями нестрогого порядка, отношения и – отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества и .

2. Отношение подчиненности в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. Несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).

3. На системе подмножеств множества отношение включения задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения задаёт строгий частичный порядок. #: , а и не сравнимы.