- •Рекомендуемая литература
- •Теория вероятностей
- •1. Случайные события
- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных событий
- •1.2. Частота события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиомы теории вероятностей. Основные следствия из аксиом
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.9. Вычисление вероятностей событий с помощью биномиальной и полиномиальной формул
- •2. Случайные величины
- •2.1. Понятие случайной величины и её закона распределения. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и квантили св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •2.9. Геометрическое распределение
- •2.10. Равномерное распределение
- •2.11. Показательное распределение
- •2.12. Одномерное нормальное распределение
2.5. Математическое ожидание, мода и квантили св
При решении многих практических задач нет необходимости знать закон распределения рассматриваемой СВ, а достаточно указать лишь некоторые его характерные особенности. С этой целью используются числовые характеристики СВ.
Математическим ожиданием дискретной СВ Х с возможными значениями называется число , где , и . Если множество возможных значений является счётным, то (ряд в правой части равенства должен быть абсолютно сходящимся, иначе математическое ожидание не существует).
Математическим ожиданием непрерывной СВ Х с плотностью распределения называется число (предполагается, что интеграл в правой части является абсолютно сходящимся).
Математическое ожидание представляет собой среднее значение, принимаемое данной СВ, и является как бы центром, вокруг которого группируются её возможные значения. Отметим, что не у каждой СВ математическое ожидание совпадает с одним из возможных значений.
При большом числе независимых наблюдений (измерений) СВ Х среднее арифметическое результатов наблюдений (измерений) почти всегда лишь незначительно отличается от . Покажем это на примере дискретной СВ с возможными значениями . Пусть при N независимых измерениях значение появилось раз, – раз, ... , – раз (очевидно, ). Среднее арифметическое результатов измерений СВ в данной серии определяется равенством
,
где – частота появления значения . Отсюда следует, что при достаточно большом N почти всегда справедливо приближённое равенство , где правая часть есть .
Модой дискретной СВ называется такое её возможное значение , которому соответствует наибольшая вероятность .
Модой непрерывной СВ называется такое её возможное значение х, которому соответствует наибольшая плотность вероятности .
Квантилем уровня р непрерывной СВ Х называется такое число , для которого . Квантиль называется медианой.
2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется число . Для дискретной СВ начальные моменты определяются по формуле , для непрерывной СВ – по формуле . Первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием.
Случайная величина называется центрированной по отношению к СВ Х. Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется число . Для дискретной СВ центральные моменты определяются по формуле , для непрерывной СВ – по формуле .
Первый центральный момент равен нулю. Действительно, для дискретной СВ , для непрерывной СВ .
Второй центральный момент называется дисперсией СВ Х и обозначается или . Формулы для дисперсии дискретной и непрерывной СВ имеют вид и . Из неотрицательности слагаемых под знаком суммы и неотрицательности подынтегральной функции следует, что .
Для дисперсии справедливо равенство . Действительно, для дискретной СВ
,
для непрерывной СВ
.
Дисперсия характеризует среднюю степень рассеивания (разброса) возможных значений СВ относительно её математического ожидания (среднего значения). На практике вместо дисперсии в качестве характеристики рассеивания часто используется величина , называемая средним квадратическим отклонением СВ Х. Размерность совпадает с квадратом размерности СВ Х, размерность – с размерностью самой СВ Х.