А. Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл 

Предположим, что существует дифференцируемая функция φ(x) и функция g(u) такие, что подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано в виде: (это преобразование называется подведением φ(x) под знак дифференциала).

Далее имеем

Поэтому вычисление  сводится к вычислению интеграла  (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u = φ(x).

Пример. Вычислить интеграл:

Решение. сos x есть производная от sin x, оставшаяся же часть подынтегральной функции есть функция sin x, поэтому заносим cos x под знак дифференциала:

Обозначая u = sin x, получаем:

Заменяем обратно u на sin x: sin⁴x/4 + c.

Пример. Вычислить интеграл:

Решение. Выражение (2x + 1)dx является полным дифференциалом многочлена x² + x - 3, находящегося в знаменателе подынтегральной функции, поэтому внесём x² + x - 3 под знак дифференциала:

Б. Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл  Введём новую переменную x=φ(u), где φ(u) - строго монотонная дифференцируемая функция. Подставим x=φ(u) в исходное подынтегральное выражение, получим:

откуда 

т.е. вычисление интеграла   сводится к вычислению интеграла   (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u =φ'(x).

Пример. Вычислить интеграл:

Решение. Положим   откуда

Делением многочлена на многочлен получим:

Конечно, такой приём применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя.  

Вопрос 42 Монотонность функции. Условия монотонности.

1. Условие постоянства функции.

При изучении хода изменения функции на первом месте появляется вопрос об условиях, при которых функция сохраняет в данном промежутке постоянное значение или изменяется в нем монотонно.

Теорема. Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f¢(x),а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условие

f¢(x)=0 внутри X.

Доказательство. Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [x0, x] [x, x0] удовлетворены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно можем написать

f(x) – f(x0)=f¢(c)(x - x0),

где c содержится между x и x0, а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположения, f(c)=0, так что для всех x из X

f(x)=f(x0)=const,

и наше утверждение доказано.

Заметим, что высказанное условие, очевидно, является и необходимым для постоянства функции.

В интегральном исчислении важное приложение найдет вытекающее отсюда простое

Следствие. Пусть две функции f(x) и g(x) определены в промежутке X и внутри его имеют конечные производные f¢(x) и g¢(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняют непрерывность. Если при этом

f¢(x) = g¢(x) внутри X,

то во всем промежутке X эти функции разнятся лишь на постоянную:

f(x) = g(x) + C (C = const).

Для доказательства достаточно применять теорему к разности f(x)-g(x); так как ее производная f(x)-g(x) внутри X сводится к нулю, то сама разность в X будет постоянной.

Пример. Рассмотрим в виде примера функции arctg x и 

Легко проверить, что их производные совпадают во всех точках x, исключая x=1, x=-1 (где вторая из функций теряет смысл). Поэтому тождество

Оказывается установленным лишь для каждого из промежутков

x1 = (-1, 1), x2 = (-¥, -1), x3 = (1, +¥)

в отдельности. Любопытно, что и значения постоянной C для этих промежутков будут различными. Для первого из них C = 0 (в чем убеждаемся полагая x=0), а для двух других имеем, соответственно, C=p/2 или C=-p/2 (что легко усмотреть, если, например, устремлять x к –¥ или +¥). Все эти соотношения также могут быть доказаны элементарно.

Замечание. Значение доказанной теоремы проявляется в теоретических исследованиях и вообще в тех случаях, когда функция задана так, что из ее определения непосредственно не вытекает, что она сохраняет постоянное значение.

Оказывается, монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной:

• Если производная положительна, то функция возрастает

• Если производная отрицательна, то функция убывает

Это помогает исследовать монотонность: теперь вместо неравенства с двумя неизвестными х₁ и х₂ можно рассматривать неравенство с одной неизвестной x. К тому же часто бывает так, что производная функции сама по себе проще исходной функции.

Функция	Производная	Монотонность
Линейная		Если  , возрастает
		Если  , убывает
		Если  , постоянная
Прямая  пропорциональность		Если  , возрастает
		Если   ,убывает
Обратная пропорциональность		Если  , убывает  на   и на
		Если  , возрастает на  и на
Квадратичная функция		Если   , убывает на  , возрастает на
		Если   , возрастает на   , убывает на
		Возрастает на