38 Вопрос:

Потенциал электростатического поля

Электрическое поле, создаваемое системой неподвижных электрических зарядов обладает свойством потенциальности: работа электрического поля по перемещению постоянного точечного заряда вдоль замкнутого контура равна нулю.

Рассмотрим электрическое поле одиночного точечного электрического заряда :

, (1.17)

где - вектор, проведенный из точки расположения заряда в точку наблюдения, - модуль вектора . Если в точке наблюдения помещен точечный заряд , то по определению понятия "напряженность электрического поля" имеем

, (1.18)

где - сила, действующая на точечный заряд со стороны электрического поля . Располагая зависимостью (1.18), легко написать выражение для элементарной работы по перемещению заряда из точки М1, описываемой вектором , в соседнюю точку М2, описываемую вектором :

. (1.19)

Элементарное смещение заряда можно разложить на составляющую , параллельную вектору , и на составляющую , перпендикулярную вектору (рис. 1.4):

, (1.20)

Рис. 1.4.

Схема элементарного перемещения точечного заряда в электростатическом поле заряда .

где - орт направления вдоль , - орт направления, перпендикулярного направлению . По построению имеем . В этом случае элементарная работа сил поля по перемещению заряда с учетом соотношения (1.19) описывается выражением:

.

В интегральной форме.

В дифференциальной форме

39 Вопрос: Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила

F = q E. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E, dl).

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

. Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q, напряженность поля которого

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl). Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении. Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,¼, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q. Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l, определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силами консервативными, а само поле - потенциальным.

Потенциальность электростатического поля. Потенциальная энергия взаимодействия электрического заряда с электрическим полем.

Если электрическое тело действует на электрически заряженные тела, то оно способно совершить работу по перемещению заряженных тел. Электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом, является центральным, то есть сила, действующая на точечный заряд в таком поле, направлена вдоль прямой, соединяющей заряд-источник и пробный заряд. Ранее мы показали, что любая центральная сила является потенциальной, то есть работа этой силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела.

Вкратце напомним доказательство этого важнейшего утверждения. Пусть точечный пробный заряд q движется в центральном поле, создаваемом неподвижным зарядом Q (Рис. 174). Сила, действующая на пробный заряд, определяется законом Кулона

,где - вектор, проведенный от заряда источника Q, к точке A, в которой находится пробный заряд. При движении заряда по дугам окружностей с центром на заряде Q (например, по дугам AB, CD) работа электрической силы равна нулю, так векторы силы и перемещения взаимно перпендикулярны. При движении же в радиальном направлении (например, по отрезкам BC, DE) работа зависит только от начального и конечного расстояния до заряда источника. Так работы электростатического поля при перемещении по отрезкам DE и D1E1 , очевидно равны. Самое красивое доказательство этого утверждения связано с симметрией поля – повернем нашу систему вокруг оси проходящей через источник, так, что бы отрезок D1E1 совпал с отрезком DE - распределение поля при этом не изменится, почему должна изменится работа поля?

Так как для напряженности электростатического поля справедлив принцип суперпозиции, то потенциальным является любое электростатическое поле. Действительно, пусть точечный заряд q находится в электрическом поле, создаваемым системой неподвижных точечных зарядов Q1, Q2, … ,QN . При перемещении заряда на малый вектор перемещения , по определению, электрическое поле совершит работу , где

,результирующая сила, действующая на движущийся заряд q, равная сумме сил, действующих со стороны каждого из неподвижных точечных зарядов Qk. Работа этой силы может быть вычислена по формуле

. (1)

Для того, чтобы вычислить работу по конечному участку траектории, необходимо разбить траекторию на малые участки (Рис. 175), затем с помощью формулы (1) вычислить работу на каждом малом участке, после чего их просуммировать

. (2)Фактически, данная сумма является двойной, так как каждая результирующая сила, является суммой сил, в соответствии с формулой (1). Обратим внимание, что в формуле (2) результирующая сила изменяется, так как вычисляется в разных точках траектории.

Как мы показали ранее, работа электрического поля точечного заряда не зависит от формы траектории, то есть каждое слагаемое из формулы (1) не зависит от формы траектории, следовательно, и вся сумма не зависит от формы траектории. Таким образом, любое электростатическое поле является потенциальным.

Следовательно, для точечного заряда, находящегося в электростатическом поле можно ввести потенциальную энергию взаимодействия U(x,y,z). Эта функция имеет следующий физический смысл: работа электрического поля при перемещения точечного заряда из одной точки с координатами (x1,y1,z1) в другую, с координатами (x2,y2,z2) равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

. (3)Изменение знака в данном определении достаточно логично: если электрическое поле совершило положительную работу (A > 0), то его энергия уменьшается (ΔU < 0). Для вычисления работы силы взаимодействия между двумя точечными заряженными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (Рис. 176). Если построить зависимость силы взаимодействия между зарядами от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (Рис. 177). Зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния аналогична силе гравитационного взаимодействия, с одним существенным отличием: гравитационная сила всегда есть сила притяжения, а электрическая может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания. В частности два положительных заряда отталкиваются. Поэтому выражение для работы электрического поля, будет аналогично формуле для работы гравитационной силы, но иметь противоположный знак

Эта работа равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, то есть Из этого выражения можно определить выражение для потенциальной энергии электростатического взаимодействия двух точечных зарядов . (4) При таком определении потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов одного знака положительна и стремится к нулю при бесконечном расстоянии между телами . Сила взаимодействия зарядов противоположных знаков направлена в противоположную сторону, поэтому работа этой силы при увеличении расстояния между зарядами будет отрицательна. Однако нам нет необходимости делать какие-то дополнительные оговорки, так как формула (4) автоматически учитывает знаки зарядов – если заряды противоположны, то их произведение (соответственно и энергия) отрицательны. Знак потенциальной энергии взаимодействия зарядов имеет очень наглядный смысл. Заряды одного знака отталкиваются, поэтому при их «разбегании» на бесконечно большое расстояние, электрическое поле совершит положительную работу – следовательно, изначально система этих зарядов обладает способностью совершить работу, поэтому ее энергия положительна, при удалении зарядов друг от друга их энергия уменьшается до нуля. Заряды противоположных знаков притягиваются, для того чтобы удалить их на бесконечно большое расстояние, внешние силы должны совершать положительную работу. При этом энергия пары зарядов должна возрастать, следовательно, изначально она отрицательна, а при удалении зарядов друг от друга возрастает до нуля. В целом обычная ситуация – притяжению соответствует отрицательная энергия, а отталкиванию - положительная. Отметим только, что такая очевидность справедлива только при выборе нулевого уровня потенциальной энергии на бесконечности. Формула (4) определяет потенциальную энергию взаимодействия двух точечных заряженных тел. Величины зарядов тел Q и q входят, как и следовало ожидать, в эту формулу симметрично. Подразделение зарядов на заряд-источник и пробный заряд является условным, их вполне можно поменять местами. Поэтому данную формулу предпочтительнее записывать в симметричном виде: энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 равна , (5)и имеет смысл работы, совершаемой полем при увеличении расстояния между зарядами от r до бесконечности, независимо от того, движется ли первый заряд, или второй, или движутся оба заряда, наконец, не зависимо от траекторий движения обоих зарядов. Далее, нельзя сказать какому именно заряду «принадлежит» эта энергия, в дальнейшем мы покажем, что энергия взаимодействия зарядов есть часть энергии самого электростатического поля, то есть она «размазана» по всему пространству, где существует поле, создаваемое этими зарядами. Если система состоит из более чем двух зарядов, то для подсчета энергии взаимодействия этих зарядов необходимо просуммировать энергии взаимодействия всех пар зарядов

, (6)

здесь Uik - энергия взаимодействия зарядов qi и qk, находящихся на расстоянии rik друг от друга (Рис. 178).