Тема 4. Методы приближения функций.
Перечислите и объясните различия между методами приближения, интерполирования и аппроксимации функций.
Сформулируйте теорему Вейерштрасса и укажите ее использование при приближении функций полиномами.
Поясните принцип разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.
Охарактеризуйте оценку погрешности разложения функции в ряд Тейлора, приведите пример.
Тема 5. Методы интерполирования функций.
Какова задача методов интерполяции функций, дайте определение узлов интерполяции, интерполянта и интерполяционной сетки.
Приведите геометрический пример интерполирования функции и пример вычисления коэффициентов в интерполяционном полиноме степени
.Запишите интерполяционную формулу Лагранжа и формулу оценки ее погрешности.
Поясните принцип выведения первой интерполяционной формулы Ньютона.
Запишите первую интерполяционную формулу Ньютона и формулу оценки ее погрешности.
Поясните принцип выведения второй интерполяционной формулы Ньютона.
Запишите вторую интерполяционную формулу Ньютона и формулу оценки ее погрешности.
Тема 6. Методы аппроксимации функций.
Какова задача методов аппроксимации функций?
В чем сущность и особенности среднеквадратичной аппроксимации функций?
Поясните сущность метода наименьших квадратов, его геометрический пример.
Приведите примеры систем нормальный уравнений Гаусса, используемых для вычисления значений коэффициентов различных регрессионных моделей.
Какова сущность полиномиальной аппроксимации функций?
Тема 7. Интерполирование и аппроксимация функций.
Изучить методы и примеры интерполирования и аппроксимации функций, рассмотренные на лекционных занятиях, подготовиться к практическому занятию.
Тема 8. Численное интегрирование.
Объясните геометрический смысл определенного интеграла, дайте определение интегральной суммы, приведите примеры.
Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов и перечислите возможные причины ограниченности ее использования.
С чем связано появление погрешности вычисления интегралов в численных методах интегрирования?
Поясните принцип сокращения погрешности интегрирования, связанной с выбором аппроксимации подынтегральной функции.
Поясните основную идею методов Ньютона-Котеса.
Поясните основную идею методов сплайнов.
Поясните основную идею методов наивысшей алгебраической точности.
Поясните основную идею методов Монте-Карло.
Перечислите два основные источника погрешности, возникающей при численном интегрировании и их зависимость от количества отрезков разбиения интервала интегрирования.
Дайте определение узлов и шагов интегрирования, а также интерполяционных полиномов.
Запишите формулу левых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Запишите формулу правых прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Запишите формулу средних прямоугольников для постоянного и переменного шагов интегрирования, поясните принцип ее выведения.
Приведите геометрические примеры погрешности метода левых, правых и средних прямоугольников.
Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом первой степени.
Запишите формулу трапеций для постоянного и переменного шагов интегрирования, приведите геометрический пример.
Объясните принцип замены подынтегральной функции полиномом второй степени.
Запишите формулу Симпсона для вычисления определенных интегралов.
Объясните принцип определения значений коэффициентов полинома второй степени, используемого для приближения подынтегральной функции.
Объясните принцип оценки погрешностей формул Ньютона-Котеса.
Дайте определение главного члена погрешности и порядка метода интегрирования, приведите примеры.
Объясните принцип вычисления интеграла с заданной точностью.
Дайте определение адаптивных алгоритмов и объясните принцип определения в них длины шага интегрирования.
Объясните принцип вычисления интегралов от разрывных функций.
Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с бесконечной границей интегрирования.
Объясните принцип вычисления несобственных интегралов с подынтегральной функцией, обращающейся в бесконечность хотя бы в одной точке интервала интегрирования.
Изложите сущность методов Монте-Карло для вычисления двойных интегралов на произвольной области, приведите геометрический пример.
Сущность вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло.
Объясните сущность первого варианта метода Монте-Карло.
Объясните сущность второго варианта метода Монте-Карло.
Объясните сущность третьего варианта метода Монте-Карло.
Почему метод средних прямоугольников неприменим для численного интегрирования таблично заданных функций?
Каковы преимущества формулы Симпсона по сравнению с формулой трапеций и следствием чего являются эти преимущества?