28.Непрерывная св, плотность вероятности. Свойства функции распределения и плотности

НСВ - СВ, для которой при любом х выполняется равенство p(ξ=x)=0. Имеет смысл говорить о попадании СВ в промежуток. СВ называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна. СВ называется абсолютно непрерывной, если ее функция распределения представлена в виде , f(t) - плотность вероятности.

Свойства плотности вероятности:

1).f(t)>=0.

2). .

.

свойства функции распределения:

1).F(-∞)=0.

2).F(+∞)=1.

3).F(x) возрастает.

4).F(x) непрерывна.

29.Функция случайной величины вида , формулы для и

Предполагается, что f и F известны. Если α>0., , .

Если α<0. , ,

общая формула:

30.Функция случайной величины вида , формулы для и

F_η(y)=p(η<y)=p(ξ²<y).

y<=0, (ξ²<y) невозможно, F_η(y)=0.

y>0, ξ²<y <=> ,

p(ξ²<y)=p( )=F_ξ(√y)-F_ξ(-√y)=F_η(y).

f_η(y)=F_η'(y)

y<0, f_η(y)=0

y>0,

31.Математическое ожидание и дисперсия дискретной св: определение, вычисление и свойства

Математическое ожидание - среднее значение СВ; числовая характеристика, вычисляемая по формуле . Если множество значений бесконечно, то в правой части стоит бесконечная сумма, т.е. ряд расходится, СВ математического ожидания не имеет.

Свойства М:

1.ξ=С=const

М(ξ)=С

2.η=αξ

М(η)=αМ(ξ)

3.z=ξ+η

M(z)=M(ξ)+M(η)

4.z=ξη

Для независимых СВ: M(z)=M(ξ)M(η)=M(ξη)

Дисперсия характеризует разброс значений СВ относительно его среднего значения.

D(ξ)=M((ξ-M(ξ))²)

Свойства дисперсии:

1.ξ=С=const

D(ξ)=0

2.D(αξ)=α²D(ξ)

3.D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ) - более удобная вычислительная формула.

4.D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)+2(M(ξη)-M(ξ)M(η))

Если СВ ξ и η независимы, то D(ξ+η)= D(ξ)+D(η)

32.Математическое ожидание и дисперсия непрерывной св: определение, вычисление и свойства

Математическое ожидание: , где f_ξ(x) - плотность вероятности ξ. Если интеграл расходится, то СВ математического ожидания не имеет.

Дисперсия: D(ξ)=M((ξ-M(ξ))²), D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ), для второй формулы: .

Свойства М:

1.ξ=С=const

М(ξ)=С

2.η=αξ

М(η)=αМ(ξ)

3.z=ξ+η

M(z)=M(ξ)+M(η)

4.z=ξη

Для независимых СВ: M(z)=M(ξ)M(η)=M(ξη)

Свойства дисперсии:

1.ξ=С=const

D(ξ)=0

2.D(αξ)=α²D(ξ)

3.D(ξ)=M(ξ²)-M²(ξ) - более удобная вычислительная формула.

4.D(ξ+η)=D(ξ)+D(η)+2(M(ξη)-M(ξ)M(η))

Если СВ ξ и η независимы, то D(ξ+η)= D(ξ)+D(η)

33.Биномиальный закон распределения: определение, числовые характеристики

Рассмотрим схему Бернулли, определенную n,p,q=1-p, ξ=μ_n (число произошедших успехов в n опытах). ξ принимает значение 0,1,2...n

p(ξ=k)=С^k_np^kq^n-k

, M(ξ)=np

D(ξ)=npq

34.Пуассоновский закон распределения: определение, числовые характеристики

e^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁱ/i!+...

1=e^-x+e^-xx/1!+...+e^-xxⁱ/i!+...

λ>0

e^-λλ⁰/0!+e^-λλ¹/1!+e^-λλ²/2!+...+e^-λλⁱ/i!+...=1

e^-λλⁱ/i!>0

ξ:0,1,2...

p(ξ=i)= e^-λλⁱ/i!

Это закон распределения Пуассона.

M(ξ)=λ

D(ξ)=λ

35.Связь биномиального и пуассоновского законов распределения

Биномиальный закон порожден схемой Бернулли. В рамках этой схемы была сформулирована предельная теорема Пуассона, которая говорит, что при больших n, малых p имеет место приближенная формула . (λ=np). Эта формула выражает близость законов распределения.

М(ξ_б)=np, M(ξ_п)=λ

М(ξ_б)=M(ξ_п)

D(ξ_б)=npq≈np=λ (q≈1)

D(ξ_п)=np=λ

D(ξ_б) ≈D(ξ_п)

Формулы M(ξ)=np, D(ξ)=npq, M(ξ)=λ, D(ξ)=λ выражают близость законов распределения на языке математического ожидания и дисперсии.