- •2. Элементарная крывая. Агульныя крывыя. Простыя крывыя.
- •5. Гадкая (рэгулярная) элементарная крывая.
- •10. Датычная прамая крывой.
- •11. Нармаль плоскай крывой. Нармальная плос-касць прасторавай крывой. Вугал паміж крывымі.
- •12. Даўжыня дугі крывой. Формулы для вылічэння даўжыні дугі.
- •15. Суправаджальны трохграннік. Кананічны базіс.
- •17. Крывізна і кручэнне.
- •20. Крывізна і кручэнне акружнасці, гарфіка функцыі, шрубавай лініі.
- •21. Крывая нулявой крывізны. Пункты спрамлення (выпроствання).
- •22. Крывая нулявога кручэння. Пункты сплашчэння.
- •23. Натуральныя раўнанні. Асноўная тэарэма тэорыі крывых.
- •27. Элементарная паверхня (э.П.). Агульная павер-хня (а.П.). Простая паверхня (п.П.).
- •29. Гладкая (рэгулярная) элементарная паверхня.
- •35. Датычная плоскасць паверхні.
- •36. Нармаль паверхні. Кананічны базіс.
- •37. Першая квадратычная форма параметрызава-най паверхні. Запіс першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах. Дыскрымінант першай ква-дратычнай формы.
- •38. Вылічэне даўжыні дугі крывой на паверхні.
- •39. Вылічэнне вугла паміж крывымі на паверхні.
- •40. Вылічэнне плошчы абсягу на паверхні.
- •41. Другая квадратычная форма параметрызава-най паверхні.
17. Крывізна і кручэнне.
З фармальнага пункта гледжання, крывізна k гэта адпаведны каэффіцыент у формулах прамых: . З іншага пункта гледжання, крывізна k есць … хуткасць змянення кіроўнага вектара датычнай прамой, ці што тое самае імгненнае паскарэнне параметра крывой , а кручэнне з дакладнасцю да знака – імгенная хуткасць змянення кіроўнага вектара бінармалі .
Вынік:
1. Крывізна k - неадмоўная велічыня;
2. Кручэнне - можа прымаць як адмоўнае, так і дадатнае і нулявое кручэнне у пункце крывой: , , .
Тэарэма (геаметрычны сэнс k і ): Няхай – (бі)рэгулярная элементарная крывая класа (С3) С2, Р – адвольны яе пункт, Q – некаторы яе пункт блізкі да Р, р, q – (бінармалі) датычныя крывой у пункце Р і Q. – вугал паміж р і q, - даўжыня дугі РQ, k(Р)= ,
Адкладваюць , , атрымаем раўнабокі трохвугольнік.
= . Вяртаючыся да k(Р) працягваем:
.
Другая формула для даказваецца аналагічна:
Вынік: Такім чынам, крывізна і кручэнне – гэта геаметрычныя варыянты, якая прадстаўляюць сабой імгненны вугал хуткасці датычнай прамой і бінармалі адпаведна.
20. Крывізна і кручэнне акружнасці, гарфіка функцыі, шрубавай лініі.
Пр.1:Вылічыць крывіз. і кручэн. акружнасці радыўса R.
Рашэнне: (1 спосаб) (на основе геаметрычнага сэнсу k і )
Адказ: , .
(2 спосаб) Параметрызуем акружнасць:
, ,
, ,
,
, ,
,
, .
Прыклад 2: Вылічыць крывізну і кручэнне графіка функцыі .
Рашэнне: Параметрызуем гарфік функцыі: .
, , , ,
, .
, .
Вынік: У пункце перагібу графіка функцыі плоскай крывой, крывізна ці роўна нулю, ці не існуе.
Прыклад 3: Знайсці крывізну шрубавай лініі .
Рашэнне: .
21. Крывая нулявой крывізны. Пункты спрамлення (выпроствання).
Тэарэма: Крывая класа С2 нулявой крывізны есць прамая, ці яе частка; адваротнае таксама праўдзіва.
Доказ: (1) Няхай
( - прамая ці яе частка)
.Паколькі лінейная адносна параметра s, задае прамую. (2) Усе лагічныя пераходы адварочваюцца.
Азначэнне: Пункт крывой , у якім крывізна k=0 называецца пунктам выпроствання.
Заўвага: Пункты выпроствання могуць цалкам запаўняць усю крывую (прамая ці яе частка); зусім адсутнічаць на крывой (акружнасць, шрубава лінія); ляжаць на ей ізаляваня.
Сцверджанне: Пункты выпроствання гладкай крывой класа С2 характарызуюць роўнасці: .
Паколькі . Адсюль атрымалі сцверджанне аб геаметрычным сэнсе паняцця бірэгулярнай крывой.
Сцверджанне: Гладкая крывая класа С2 з’яўляецца бірэгілярнай тады і толькі тады, калі яна не мае пунктаў выпроствання .
22. Крывая нулявога кручэння. Пункты сплашчэння.
Тэарэма: Гладкая крывая класа С3 нулявога кручэння з’яўляецца плоскай; адворотнае таксама праўдзіва.
Доказ: (1) Няхай ( - плоская крывая), таму што каардынаты адвольнага яе пункта задавальняюць раўнанню адной і той жа плоскасці. (2) (Няхай - плоская крывая) (яе судаты-кальная плоскасць П супадае з плоскасцю крывой ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Азн.: пункт крывой, у якім кручэнне роўна нулю, называецца пунктам сплашчэння.
Заўвага: пункты сплашчэння могут цалкам запаўняць крывую (плоская крывая), могуць адсутнічаць на крывой (шрубавая лінія) і могуць ляжаць на ей ізалявана.
Сцверджанне: для знаходжання пунктаў сплашчэння крывой (бірэгулярнай класа ) выкарыстоўваць іх характарыстычную уласцівасць (змешана-га здабытку)