3) Выполнить задания п.2 для систем с одинаково плохо обусловленными матрицами.
-
№
порядок
COND
Real Error
ErrEst(cond)
7
3
3.602E+0009
1.716E-0003
3.32E-0004
8
4.816E+0013
1.727E+0001
6.33E+0001
13
5.591E+0013
4.072E+0000
1.72E+0001
15
система вырождена
12
3
9.986E+0005
3.680E-0009
5.36E-0007
8
4.102E+0016
9.404E+0001
5.50E+0004
13
1.514E+0016
1.109E+0001
1.46E+0004
15
1.587E+0017
1.296E+0001
3.28E+0005
Оценка фактической ошибки решения по числу обусловленности, полученной процедурой DECOMP, так же, как и в случае с хорошо обусловленными матрицами, дает несколько завышенный результат.
Использование же метода Гаусса для матриц с плохой обусловленностью приводит к достаточно высокой ошибке (на выходе можем получить совершенно другое решение, даже близко не совпадающее с точным). Так же как и число обусловленности, с ростом порядка матрицы растет и ошибка решения.
4) Оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.
Таблица для матриц порядка 13
№ |
COND |
Real Error |
Relative Error |
Норма вектора r |
4 |
4.56E+01 |
5.86E-12 |
3.20E-14 |
2.40E-10 |
3 |
5.04E+01 |
4.93E-11 |
2.69E-13 |
2.30E-07 |
9 |
1.30E+03 |
1.91E-10 |
1.04E-12 |
3.17E-10 |
1 |
8.33E+04 |
0 |
0.00E+00 |
0 |
8 |
7.87E+07 |
7.38E-06 |
4.03E-08 |
1.62E-09 |
7 |
5.59E+13 |
4.07E+00 |
2.22E-02 |
1.16E-10 |
5 |
1.09E+14 |
2.95E+00 |
1.61E-02 |
3.36E-11 |
11 |
2.67E+14 |
4.36E+01 |
2.38E-01 |
5.93E-09 |
12 |
1.51E+16 |
1.11E+01 |
6.05E-02 |
1.56E-11 |
Оценочное значение относительной ошибки, полученное процедурой DECOMP, довольно близко к величине реально ошибки. Хотя для плохо обусловленных матриц данная процедура дает несколько завышенный результат, она может быть применена для оценки ошибки решения.
С ростом числа обусловленности значение относительной ошибки растет. Зависимость относительной ошибки от числа обусловленности имеет характер, близкий к линейному, чего и следовало ожидать.
Вектор невязки практически не зависит от числа обусловленности и имеет малое значение. Это говорит о том, что погрешность решения связана не столько с самим методом, сколько с обусловленностью матрицы, т.к. вектор невязки можно рассматривать как малое возмущение, вносимое в вектор правой части.