- •3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •4. Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле
- •5. Определение интеграла его свойства
- •Свойства интеграла
- •6. Механический и геометрический смысл определенного интеграла
- •7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •8.Интегрирование рациональных дробей
- •9.Интеграл простейших рациональных дробей
- •10. Интегрирование иррациональных функций
- •14. Объем тела вращения его вычисления
- •15. Дифференциальное уравнение основные понятия
- •17. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
- •18. Понижение порядка дифференциального уравненияI. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую
- •22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •20. Линейные уравнения второго порядка
- •21. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •23.Функции нескольких переменных, линия уровня функции двух переменных Функции нескольких переменных
- •Линия уровня функции двух переменных
- •24. Частнные производные функции двух переменных
- •25. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных
- •Связь полного приращения фнп с ее полным дифференциалом
- •Достаточное условие дифференцируемости фнп
- •Приложения полного дифференциала фнп
- •29. Экстремумы функции двух переменных
- •30. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
1.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции
F'(x) = f(x).
Обозначение
где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла
1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.
3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то
4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.
3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Найти неопределенный интеграл.
Проведем замену:
Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.
Найти неопределенный интеграл.
Замена: Осталось выяснить, во что превратится Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?! Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !
4. Метод интегрирования по частям в неопределённом интеграле
Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:
Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:
Операция интегрирования обратна дифференцированию:
После перестановок:
Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во времяинтегрирования.
Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:
Отсюда «следствие»: , что очевидно неверно.
5. Определение интеграла его свойства
Определение. Пусть . Пусть , аддитивна, и ее плотность равна . Тогда называется интегралом.
Обозначение. Пусть . Значение функции на отрезке :
Теорема (Ньютон, Лейбниц). Пусть , – первообразная функции . Тогда
Доказательство. По теореме о плотности аддитивной функции промежутка, и равна плотности функции . По определению тогда – интеграл функции .
Свойства интеграла
1.
2. .
Доказательство. Пусть - первообразная , – первообразная . Тогда – первообразная .
6. Механический и геометрический смысл определенного интеграла
Механический смысл определенного интеграла
Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х0, х1, ..., b = хn (х0< х1<...< хn) разобьем на n частичных отрезков [х0; х1], [х1; х2], ..., [хn-1; хn]. Сила, действующая на отрезке [хi-1; хi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = хi – хi-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = ci [хi-1; хi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [хi-1; хi], равна произведению F(ci)∙Δхi. (Как работа постоянной силы F(ci) на участке [хi-1; хi]).
Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:
.
Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].
В этом состоит механический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):
масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности
γ(х):
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b,
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).