8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Свойства плотности вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x) : f(x)= F’(x) Замечание. Плотность распределения вероятностей неприменима для описания дискретных случайных величин

Свойства плотности вероятностей f(x)

З амечание.Для непрерывной случайной величины имеем:

Т .е. вероятность того, что НСВ примет какое-то конкретное значение С равна нулю.

Откуда следует:

С лучайную величину X называют непрерывной , если существует неотрицательная функция f(x) , такая, что при любых x функцию распределения F(x) можно представить в виде

а затем получить, что

9. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания.

М атематическим ожиданием ДСВ X называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

П усть ДСВ X может принимать значения

вероятности которых соответственно равны

Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины X определяется равенством:

М (Х)=х₁*р₁+х₂*р₂+х₃*р₃+…+х_п*р_п или

Если число значений ДСВ бесконечно, то

Для непрерывной случайной величины имеем :

Замечание

Из определения следует, что математическое ожидание случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Вероятностный смысл математического ожидания

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины (тем точнее, чем больше число испытаний).

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(С*Х)=С*М(Х)

3. М атематическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) ровно сумме математических ожиданий слагаемых:

10. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Свойства дисперсия.

Д исперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для непрерывной СВ имеем

Замечание.Из определения следует, что дисперсия СВ есть неслучайная (постоянная) величина.

Т еорема.Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D( c )=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(C*X)=C²*D(X)

3. Д исперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Cледствия:

1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины.

3. Д исперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

С редним квадратичным отклонением (СКО) случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Размерность СКО совпадает с размерностью СВ X.

7