- •1 Вопрос
- •3. Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение
- •1. Достаточное условие возрастания и убывания функции.
- •10. Понятие дифференциала
- •1 2. Вогнутость, выпуклость, точки перегиба
- •14. Асимптоты кривых. Правило нахождение асимптот
- •16 Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •17. Первообразная и неопределённый интеграл.
- •18 Таблица интегралов.
- •19.Свойства неопределенного интеграла.
- •21) Метод замены переменной для неопределенного интеграла.
- •25.Определенный интеграл
- •27. Свойства определенного интеграла
- •28. Формула Ньютона- Лейбница.
- •29)Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
- •30 Вычисление площадей плоских фигур
- •32.Теория вероятности. Случайные события.
- •34.Теория сложения и умножения вероятностей.
- •36. Закон распределение дискретной случайной велечины.
- •37. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
- •39. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятности.
- •40. Равномерное распределение
- •41. Показательное распределение
- •Вопрос 43.
- •44. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •46. Определение интервальной оценки
- •48. Проверка гипотезы о нормальном распределении.
1 Вопрос
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности можно представить в виде
если существует.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Общепринятые обозначения производной функции в точке
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
2 .Билет
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то xнеограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и состоит геометрический смысл производной
3. Механический смысл производной. Мгновенная скорость. Ускорение
Напомним, как определялась скорость движения в курсе физики. Рассмотрим самый простой случай: материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т. е. координата х этой точки есть известная функция х(t) времени t. За промежуток времени от t0) до t0) + Δt перемещение точки равно х (t0) + Δt) — х (t0)) = Δх, а ее средняя скорость такова: При Δt<0 формула (1) также верна: перемещение равно х (t0))—x (t0)+Δt) = —Δх, а продолжительность промежутка времени равна -Δt. Обычно характер движения бывает таким, что при малых Δt средняя скорость практически не меняется, т. е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным (см. пример п. 13). Другими словами, значение средней скорости при Δt→0 стремится к некоторому вполне определенному значению, которое и называют мгновенной скоростью v (t0) материальной точки в момент времени to. Итак, при
Но по определению производной при
Поэтому считают, что мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом
Коротко говорят: производная от координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной. Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает. Аналогичное положение и с ускорением движения. Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть
ускорение.
4.Основные правила дифференцирования.
5 Таблица производных.
6. Производная сложно ф-ции.
производная суммы равна сумме производных ( (a+b)' = a' + b' ) , производная сложной функции равна производной внешней функции умноженную на производную внутренней функции ( (f(g(x)))' = f '(g(x)) * g'(x) ). То есть в данном случае (2sin2x+2cos2x)' = (2sin2x)' + (2cos2x)' = 2(sin2x)' + 2(cos2x)' = 2*2*cos2x - 2*2*sin2x = 4cos2x - 4sin2x
7.Произодная неявной ф-ции
Функция заданна неявно ,если она определяется уравнением ,неразрешенным относительно Х и y.в общем виде неявная функция f(Х,У)=0.чтобы найти производную неявной функции нужно продифференцировать обе части равенства по Х и У и выразить по У’
Пример |
|
Вычислить производную функции y(x), заданной уравнением при условии y = 1. Решение. Дифференцируем обе части уравнения по x (левую часть дифференцируем как сложную функцию):
Если y = 1, то из исходного уравнения находим
Подставим в уравнение (1) значения x = −1 и y = 1. В результате получаем
Отсюда следует, что y' = 0 при y = 1. |
8. Дифференциалом функции (обозначается через ) называется следующее выражение:
где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.
9.
свойства дифференциала
Основные дифференциалы
differencial.jpg ¬
Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.
Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const.
Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const).
Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const).
Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой differ_chastnogo.jpg ¬
Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Билет 11
условия возрастания (убывания) функции на промежутке