Шпора по аналитической геометрии [DOCX]
.docx(каши-конековский) Rn – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х1у1+х2у2..
Модулем называется число |х|=√x12x22+…
Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|
(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)
По свойству: (х+λубх+λу)≥0
(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)≥0
Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс
D=(2(x,y))2-4(x,x)(y,y)≤0
Отсюда (х,у)2≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|
Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида
F(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an
F(z)+g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)+(b0zm+b1zm-1+..+bm)
F(z)g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)(b0zm+b1zm-1+bm)-a0b0zm+n+(a0b1+a1b0)zm+n-1+..+anbm
Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)
Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)
F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)
Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)
F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)
a0zn+a1zn-1+..an a0zn+a0b1/b0*zn-1+..
//b0zk+b1zk-1+bk a0/b0*zn-k+…
Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)
Д: Разделим f(z) на z-a с остатком
F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c
T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень
Д: Пусть f(z)=c0zn+x1zn-1+..cn, то сущ. Корень a1.
Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)
Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей
Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).
Д, з: A2=SA1ST, r(A2)=r(SA2ST)=r(A1);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f1 ̴ y12+y22..+yn2;; f2̴ -//-
Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)
T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна
12 A-ортогонально, е1,е2,е3-ортон. Базис в L, Тогда (А(ei),A(ej))=(ei,ej)
23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e1)=a11e1+a12e2+a13e3…
Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x2/a2+y2/b2=1
Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y2=2px
Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x2/a2-y2/b2=1
Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a11x2+2a12xy+a22y2+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.
R=3: λ1x’’2+λ2y’’2+λ3z’’2+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λi , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λi тогда x’’2/(-e/λ1) + … =1
R=2: λ1x’’2+λ2y’’2+d3z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’2/d3/λ1+y’’2/d3/λ2+z’+e/d3=0 – эллиптический параболоид
R=1: λ1x’’2+d2y’+d3z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.
(каши-конековский) Rn – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х1у1+х2у2..
Модулем называется число |х|=√x12x22+…
Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|
(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)
По свойству: (х+λубх+λу)≥0
(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)≥0
Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс
D=(2(x,y))2-4(x,x)(y,y)≤0
Отсюда (х,у)2≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|
Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида
F(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an
F(z)+g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)+(b0zm+b1zm-1+..+bm)
F(z)g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)(b0zm+b1zm-1+bm)-a0b0zm+n+(a0b1+a1b0)zm+n-1+..+anbm
Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)
Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)
F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)
Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)
F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)
a0zn+a1zn-1+..an a0zn+a0b1/b0*zn-1+..
//b0zk+b1zk-1+bk a0/b0*zn-k+…
Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)
Д: Разделим f(z) на z-a с остатком
F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c
T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень
Д: Пусть f(z)=c0zn+x1zn-1+..cn, то сущ. Корень a1.
Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)
Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей
Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).
Д, з: A2=SA1ST, r(A2)=r(SA2ST)=r(A1);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f1 ̴ y12+y22..+yn2;; f2̴ -//-
Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)
T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна
12 A-ортогонально, е1,е2,е3-ортон. Базис в L, Тогда (А(ei),A(ej))=(ei,ej)
23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e1)=a11e1+a12e2+a13e3…
Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x2/a2+y2/b2=1
Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y2=2px
Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x2/a2-y2/b2=1
Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a11x2+2a12xy+a22y2+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.
R=3: λ1x’’2+λ2y’’2+λ3z’’2+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λi , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λi тогда x’’2/(-e/λ1) + … =1
R=2: λ1x’’2+λ2y’’2+d3z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’2/d3/λ1+y’’2/d3/λ2+z’+e/d3=0 – эллиптический параболоид
R=1: λ1x’’2+d2y’+d3z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.
(каши-конековский) Rn – элементы которого упорядоченные наборы из n чисел/// Скаляром произведения элементов линейного пространства называется число (х,у)=х1у1+х2у2..
Модулем называется число |х|=√x12x22+…
Для любых векторов х,у (х, у)≤|х|*|у|
(х+λу,х+λу)=(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)
По свойству: (х+λубх+λу)≥0
(х,х)+2λ(х,у)+λ2(у,у)≥0
Т.е. график парабола и лежит выше оси абцисс
D=(2(x,y))2-4(x,x)(y,y)≤0
Отсюда (х,у)2≤(х,х)(у,у),|(x,y)|≤√(x,x)*√(y,y), |(x,y)|≤|x||y|
Многочленом от переменной z над полем С называется выражение вида
F(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an
F(z)+g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)+(b0zm+b1zm-1+..+bm)
F(z)g(z)=(a0zn+a1zn-1+..+an)(b0zm+b1zm-1+bm)-a0b0zm+n+(a0b1+a1b0)zm+n-1+..+anbm
Deg(f(z)g(z))=degf(z)+degg(z)
Для любых многочленов сущ. многочлен h(z),r(z) такой что (алгоритм Эвклида)
F(z)=g(z)h(z)+r(z), degr(z)<degg(z)
Д: Пусть degf(z)=n, degg(z)=k, Если n<k, то h(z)=0, r(z)=f(z)
F(Z)-0g(z)+f(z), degf(z)<degg(z)
a0zn+a1zn-1+..an a0zn+a0b1/b0*zn-1+..
//b0zk+b1zk-1+bk a0/b0*zn-k+…
Остаток от деления f(z) на z–a равен f(a)
Д: Разделим f(z) на z-a с остатком
F(z)=(z-a)h(z)+r(z) degr(z)<deg(z-a), так как Deg(z-a)=1, to degr(z)=0, t.e. r(z)=c=const f(a)=0+c=c
T: Любой многочлен степени большей 0 имеет в поле комплексных чисел хотя бы 1 корень
Д: Пусть f(z)=c0zn+x1zn-1+..cn, то сущ. Корень a1.
Закон инерции: f1 ̴ f2 r(f1)=r(f2)
Л: Ранг произведения матриц меньше либо равен рангу каждого из сомножетелей
Д, л: По лемме r(SA)≤r(A). Так как A=S-1(SA), r(A)= r(S-1(SA))≤r(SA), значит r(SA)=r(A).
Д, з: A2=SA1ST, r(A2)=r(SA2ST)=r(A1);;; <= Пусть Y(f1)=r(f2)=r f1 ̴ y12+y22..+yn2;; f2̴ -//-
Ортогональные преобр. L-евклидого пространство A:L->L-линейное преобразование L. Преобразование A называется орногональная если ѴхеL. (A(x),A(x))=(x,x)
T. A:L->L-линейное преобразование евклидова пространства 1) А-ортогонально, 2)ортог.базис А переводит в ортон. базис 3) матрица А в ортонор. Базисе ортогональна
12 A-ортогонально, е1,е2,е3-ортон. Базис в L, Тогда (А(ei),A(ej))=(ei,ej)
23 Пусть е1,е2,е3 – ортонорм. Базис. A(e1)=a11e1+a12e2+a13e3…
Элипсом называется множество точек на плоскости, таких что сумма расстояний от каждой до двух точек есть величина постоянная. x2/a2+y2/b2=1
Параболой называется множество точек на плоскости. Равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) y2=2px
Гиперболой называется множество точек на плоскости, таких, что положительная разность расстояний от каждой из них до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная x2/a2-y2/b2=1
Для любого конического сечения отношение расстояния от произвольной точнки до её фокуса к расстоянию от этой точки до соответсвующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Геометрическое представление ортогональных преобразований: Общее уравнение от двух переменных имеет вид a11x2+2a12xy+a22y2+bx+cy+d=0. T: Ортогональное преобразование плоскости есть либо поворот, либо поворот с последующей осевой симметрией.
R=3: λ1x’’2+λ2y’’2+λ3z’’2+e=0 // Свободный член e=0; тогда определяется точка // e совпадает с знаком λi , тогда уравовнение не имеет точек., // e противоположен знаку λi тогда x’’2/(-e/λ1) + … =1
R=2: λ1x’’2+λ2y’’2+d3z’=0 //d=0 цилиндрическая поверхность. //d3≠0 x’’2/d3/λ1+y’’2/d3/λ2+z’+e/d3=0 – эллиптический параболоид
R=1: λ1x’’2+d2y’+d3z’+e=0; // ==0 задает плоскость x’’=0; e≠0 – пустое множество.