96. Опишите алгоритм метода Крылова-Боголюбова. Для решения каких задач он применяется?

Этот метод основан на принципе усреднения, заменяющем точное решение дифференциального уравнения усредненным. Он особенно удобен для исследования нелинейных колебательных процессов.

Рассмотрим уравнение , где достаточно гладкая функция по x и t и обладает свойством «возвращаемости» по t, т.е. существует интеграл:

Где интегрирование ведется по явно входящему в времени, а х рассматривается как параметр

Далее x ищется в виде , где – решение усредненного уравнения:

Где функции и выбираются таким образом, чтобы выражение для x удовлетворяло исходному уравнению с точностью до членов порядка

Правую часть представляем в виде

Тогда для первого приближения:

97. Почему метод Крылова-Боголюбова называется методом усреднения?

Потому что он основан на принципе усреднения, заменяющим точное решение дифференциального уравнения усредненным.

98. Что такое аттрактор? Что такое странный аттрактор?

На фазовой плоскости автоколебаниям соответствует предельный цикл – замкнутая траектория, на которую накладываются все фазовые траектории из некоторой окрестности. Множество, к которому сходятся фазовые кривые, называется аттрактором.

Аттрактор, граница которого является фракталом, называется странным аттрактором.

99. Дайте определение фрактала.

Ф рактал – геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба.

Применения фракталов:

Задачи распознавания (радиолокация)

Вытеснение нефти водой в пористой среде и запирание нефти в водяных ловушках. Фронт вытеснения образует «вязкие пальцы», имеющие фрактальную структуру.

Исследование переходных процессов от упорядоченного состояния к хаосы, границы между которыми носят фрактальный характер.

Сжатие изображения: нахождение подобных областей и сохранение в файле только коэффициентов подобия.

100. Какие фракталы называются конструктивными? Приведите примеры.

К онструктивный фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Они строятся путем применения простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований). Это множество, получающееся в результате линейных (афинных) сжимающих отображений подобий. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной точкой – «фракталом». Примером может служить Н-Фрактал

101. Какие фракталы называются динамическими? Приведите примеры.

Динамические фракталы, как правило, задаются с помощью некоторого отображения. Если в отображении

На комплексной плоскости фиксировать значение постоянной С, то в зависимости от выбора начального приближения пределом последовательности будут либо ноль, который является аттрактором, либо бесконечность (также аттрактор).

Граница, разделяющая области притяжения этих двух аттракторов бесконечно изрезана и является фракталом – множеством Жюлиа.

102. Приведите примеры расчета размерности конструктивных фракталов.

Основным свойством фрактала является самоподобие, или масштабная инвариантности, а фундаментальной характеристикой его является фрактальная размерность или размерность самоподобия.

Единичный отрезок, N частей длины

Единичный квадрат, N квадратов со стороной

Единичный куб, N кубов со стороной

Во всех этих случаях получаем , где d – размерность самоподобия: