20.4. Теорема о кинетической энергии материальной точки
Кинетической энергией движущейся материальной точки называется скалярная величина, равная половине произведения массы движущейся точки на квадрат ее скорости.
Кинетическая энергия имеет размерность работы и измеряется в системе СИ в Джоулях [Дж].
Теорема:
Изменение кинетической энергии движущейся материальной точки равно работе приложенной к ней силы не пройденном этой точкой пути.
Доказательство:
Пусть материальная точка М массы движется под действием силы по некоторой криволинейной траектории (рис.20.4).
Рис.20.4.
Напишем основное уравнение динамики, выражающее второй закон Ньютона: . Проектируя это векторное равенство на направление скорости , получим:
Где φ – угол между векторами и . Умножая обе части этого равенства на получим:
Или
Правая часть этого равенства представляет собой элементарную работу силы . Следовательно, дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку.
Этот результат выражает теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме. Интегрируя, полученное уравнение в соответствующих пределах, получим:
20.6. Понятие о потенциальной энергии
Пусть материальная точка, движущаяся в потенциальном силовом поле, находится в точке М(х,у,z), в которой силовая функция имеет значение U,и пусть точка М(0)(х(0),у(0),z(0)) будет какая-либо произвольно выбранная неподвижная (нулевая) точка, в которой силовая функция имеет значение:
Работа, производимая силой поля при перемещении материальной точки из положения М в «нулевую точку» М(0), называется потенциальной энергией в точке М.
В нулевой точке М(0) потенциальная энергия равна нулю. За нулевую точку можно принять любую точку поверхности уровня, на которой силовая функция имеет значение .
Пусть материальная точка находится в поле силы тяжести. Примем произвольно взятую горизонтальную плоскость за нулевую и будем считать потенциальную энергию на этой плоскости равной нулю. Потенциальная энергия в точке М, находящейся на высоте над этой нулевой плоскостью равна , где Р – вес данной материальной точки.
Так как величина постоянная, то:
, ,
Отсюда:
Проекции силы потенциального поля на координатные оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам.
20.7. Закон сохранения энергии
Пусть М1 и М2 – два различных положения материальной точки, движущейся в потенциальном силовом поле, и и - соответствующие значения силовой функции в этих точках. Изменение кинетической энергии точки будет равно работе приложенной к ней силы:
Где и - скорости движущейся точки в положениях М1 и М2. Но так как работа А равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях движущейся точки, то
Потенциальная энергия в точках М1 и М2 будет равна:
Откуда:
Подставляя эти значения в уравнение кинетической энергии, получим:
Или
Т.е.
При движении материальной точки в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.
Этот результат, выражающий закон сохранения механической энергии, представляет собой частный случай общего физического закона сохранения энергии.