9.3. Теоремы Гюльдена
Теорема 1 Площадь поверхности, полученной вращением некоторой плоской линии вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и ее не пересекающей, равна длине этой линии, умноженной на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Доказательство. Представим себе поверхность полученную вращением дуги АВ некоторой плоской кривой линии вокруг оси Оу (рис.9.5)
Рис.9.5.
Пусть центр тяжести этой дуги находится в точке С.
Обозначим
его абсциссу через хС.
Впишем в дугу АВ ломаную линию, состоящую
из весьма большого числа малых
прямолинейных отрезков. Рассмотрим
одну из сторон этой ломаной линии ав.
Центр тяжести прямолинейного отрезка
ав находится в его середине – точке м.
Обозначим абсциссу этой точки через х.
При вращении вокруг оси Оу отрезок
опишет усеченный конус. Если обозначим
длину отрезка ав через Δl',
то боковая поверхность
этого конуса будет равна
.
Если, далее обозначим через S’
сумму боковых поверхностей конусов,
описанных каждой стороной ломаной
линии, то
С
другой стороны, если обозначим через
хС
абсциссу центра тяжести С' этой ломаной
линии, то
,
откуда
,
где
- длина ломаной линии. Следовательно,
Перейдем к пределу, предполагая, что число сторон вписанной ломаной линии стремится к бесконечности, а длина каждой стороны стремится к нулю:
Т.е.
,
где
– длина окружности, описанной точкой
С ч.т.д.
Теорема 2. Объем тела, полученного вращением некоторой плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Доказательство. Возьмем некоторую плоскую фигуру, площадь которой равна S. Пусть центр тяжести этой фигуры лежит в точке С (рис.9.6).
Рис.9.6
Вращая
эту фигуру вокруг оси Оу, получим тело,
объем которого нужно определить. Для
этого разобьем площадь данной фигуры
на множество элементарных площадок,
проводя прямые, параллельные координатным
осям х и у, на близком расстоянии друг
от друга. Рассмотрим площадку аbсd. Центр
тяжести этой площадки лежит в точке
пересечения ее диагоналей. Обозначим
абсциссу этой точки через х. Пусть
и
.
Тогда площадь прямоугольника будет
равна:
и будут выполнены соотношения
и
Объем
тела ΔV', полученного вращением
прямоугольника аbсd вокруг оси Оу, равен
разности объемов двух цилиндров,
полученных вращением прямоугольников
и
вокруг той же оси:
Обозначим через V' сумму объемов всех таких тел, полученных вращением элементарных площадок, на которые мы разбили данную фигуру:
Перейдем к пределу, предполагая, что площадь прямоугольников стремиться к нулю:
С другой стороны, обозначив абсциссу центра тяжести С данной фигуры через хС, координаты центра тяжести будут равны:
,
откуда
.
Следовательно,
ч.т.д.
Пример. Поверхность и объем тора. рис.9.7. Теоремы Гюльдена позволяют легко найти объемы и площади поверхности тел вращения.
Рис.9.7.
Центр тяжести окружности находится в ее геометрическом центре в точке С.
По первой теореме Гюльдена поверхность тора равна:
По
второй теореме объем тора равен
