10. Итерационный метод Ньютона

Метод Ньютона предназначен для решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Он представляет собой одну из разновидностей метода последовательных приближений и основан на линеаризации уравнений путем их разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми производными.

Запишем систему алгебраических уравнений с неизвестными x₁, x₂, …, x_n в следующем виде:

(2.4)

где W₁, W₂, …, W_n – некоторые функции переменных x₁, x₂, …, x_n, определяющие вид уравнений.

Алгоритм решения системы уравнений по методу Ньютона

1. Задается начальное приближение , , …, искомых переменных x₁, x₂, …, x_n.

2. Вычисляются значения функций W₁, W₂, …, W_n при данном приближении переменных.

3. Проверяются условия

, , …, ,

где  – заданная точность решения.

Если все эти условия выполнились, то расчет заканчивается и решением является последнее приближение переменных. Если хотя бы одно из условий не выполнились, то осуществляется переход к пункту 4.

4. Составляется линеаризованная система уравнений, переменными в которой являются величины x₁, x₂, …, x_n:

(2.5)

где – частные производные функций W_i по переменным x_j, предварительно вычисленные при данном приближении переменных.

5. Полученная линейная система решается методом Гаусса, после чего определяется (k+1)-е приближение переменных:

, , …, ,

где , , …, – k-е (предыдущее) приближение переменных.

6. Возврат к пункту 2.

Уравнения узловых напряжений (2.1) называют уравнениями в форме баланса токов. Для использования метода Ньютона их обычно записывают в форме баланса мощностей. Для этого каждое i-е уравнение типа (2.1) умножают на величину . Кроме того, уравнения режима разделяются на действительную и мнимую части. Результирующая система имеет порядок 2n. Она решается относительно модулей напряжений U₁, U₂, …, U_n и их фаз ₁, ₂, …, _n.

11. Существование, единственность и устойчивость решения. Сходимость итерационного процесса

Рассмотрим простейшую электрическую сеть (рис. 2.3) с чисто активной нагрузкой и сопротивлением линии. В этом случае поперечная составляющая падения напряжения равна нулю. Тогда напряжения U₀ и U связаны уравнением

.

Разрешим данное уравнение относительно U:

;

. (2.6)

Таким образом, в рассматриваемом случае существует не одно, а два решения. Наличие нескольких решений является характерным свойством уравнений установившегося режима электрических сетей. Оно обусловлено нелинейностью этих уравнений.

Статической устойчивостью называется способность системы возвращаться в исходный режим или близкий к нему при малых возмущениях. В электрических сетях при наличии двух решений одно из них, как правило, является устойчивым, а другое – неустойчивым. Так, в рассматриваемом случае решение со знаком плюс в формуле (2.6) устойчиво, а со знаком минус – неустойчиво.

Если в (2.6) дискриминант (подкоренное выражение) меньше нуля, то уравнение не имеет решения. Это значит, что в сети не существует установившегося режима. Из (2.6) видно, что отсутствие решения может наблюдаться при низком напряжении источника питания, а также при большой нагрузке и больших сопротивлениях элементов сети. То же справедливо и для сетей другой конфигурации.

Если дискриминант равен нулю, то режим называется предельным по статической устойчивости. В этом случае устойчивое и неустойчивое решения «сливаются» в одно.

Сходимостью итерационного процесса решения уравнений (процесса последовательных приближений) называется его способность приходить к решению. При расчете режимов электрических сетей итерационный процесс в некоторых случаях может расходиться (ЭВМ не удается найти решения). Обычно это наблюдается при расчете режимов, близких к предельным по статической устойчивости.