![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение.
- •Общее введение в теорию игр.
- •Биматричные игры.
- •Оптимальность по Парето
- •Равновесие по Нэшу
- •6. Решение биматричных игр
- •7. Биматричные игры 2х2 и их решение.
- •7.1. «Семейный спор»
- •7.2. «Два бандита»
- •«Зачет»
- •8. Почти антагонистические игры.
- •8.1. «Борьба за рынки»
- •9. Заключение
- •10. Список литературы
- •16 7. Биматричные игры 2х2 и их решение.
Биматричные игры.
В своей работе я подробно разберу ситуации, в которых интересы игроков не совпадают, но и не являются противоположными.
Рассмотрим, например, конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения –
игрок А может выбрать любую из стратегий A1,…,Am,
игрок В может выбрать любую из стратегий B1,…,Bn.
При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне определенно: если игрок A выбрал i-ю стратегию А1, а игрок В — k-ю стратегию Bk, то выигрыш игрока А равен некоторому числу aik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу bik.
Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока B мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы
|
B1 |
… |
Bk |
… |
Bn |
|
|
B1 |
… |
Bk |
… |
Bn |
A1 |
a11 |
… |
a1k |
… |
a1n |
|
A1 |
b11 |
… |
b1k |
… |
b1n |
… |
… |
…. |
… |
… |
… |
|
… |
… |
…. |
… |
… |
… |
Ai |
ai1 |
… |
aik |
… |
ain |
|
Ai |
bi1 |
… |
bik |
… |
bin |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Am |
am1 |
… |
amk |
… |
amn |
|
Am |
bm1 |
… |
bmk |
… |
bmn |
Первая из таблиц описывает выигрыши игрока А, вторая — выигрыши игрока B. Обычно эти таблицы записывают в виде матриц
,
Здесь А — платежная матрица игрока А, а В — платежная матрица игрока В.
При выборе игроком А i-й стратегии, а игроком В — k-й стратегии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении i-x строк и k-х столбцов: в матрице А это элемент aik , а в матрице В — элемент bik.
Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны), получаются две платежные матрицы: одна — матрица выплат игроку А, другая — матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре, — биматричная.
Замечание, Рассматриваемые ранее матричные игры можно рассматривать, разумеется, и как биматричные, где матрица выплат игроку В противоположна матрице выплат игроку А:
или
.
Однако в общем случае биматричная игра — это игра с ненулевой суммой.
Тем не менее, нам кажется разумным время от времени сопоставлять наши рассмотрения с рассуждениями, проведенными ранее для матричных игр (особенно при попытках разрешения схожих проблем). Подобные сопоставления нередко оказываются одновременно и удобными и полезными. Конечно, класс биматричных игр значительно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а, значит, неизбежно увеличиваются и трудности, встающие на пути их успешного разрешения.
Существует ещё и алгебраическое представление биматричной игры:
Задача
нахождения ситуаций равновесия
бескоалиционной игры Г формата (m1,…mn)
фактически
состоит в решении системы m1
+ . .. …
+ mn
неравенств
вида
с
m1,…,mn
ограничениями
неотрицательности и n
ограничениями
нормирования. Математически это сложно
и громоздко. Лишь для отдельных
сравнительно простых классов
бескоалиционных игр ход решения этой
задачи поддается элементарному описанию.
Именно одним из таких классов являются конечные бескоалиционные игры6 двух лиц. Пусть в такой игре игрок 1 имеет m чистых стратегий, а игрок 2 — n стратегий, и в каждой ситуации (i,j) игрок 1 получает выигрыш aij , а игрок 2 — выигрыш bij. Тогда значения обеих функций выигрыша игроков естественно расположить в виде пары матриц:
Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с матрицами выигрышей А и В обозначается через Г (А , В) или через ГА ,В.
Смешанные стратегии7 в биматричных играх, как и в матричных играх, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный симплекс. Если X и Y — соответственно векторы, описывающие смешанные стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть,
H1(X,Y)=XAYT, H2(X,Y) = XBYT.
Определение ситуации равновесия8 для случая биматричной игры приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если
(1)
(2)
Очевидно, при В = -A биматричная игра превращается в матричную, а соотношения (1) и (2) – соответственно в
(3)
Последнее неравенство равносильно XAYT и XАj , что вместе с (3) дает нам известное определение седловой точки9 в матричной игре.