- •54. Биномиальным дифференциалом называется выражение вида
- •55. Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла.
- •56. Условия существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
- •57. Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
- •58. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла. Вычисление площадей в параметрической форме.
- •59. Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
- •60. Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.
- •61. Объём тела вращения
- •62. Длина дуги кривой.
- •63. Длинна дуги кривой заданной в явном виде.
- •64. Длинна дуги кривой заданной в полярных координатах. Площадь поверхности вращения.
- •65. Физические приложения определённых интегралов.
- •66. Первая и вторая теорема Гульдина.
- •67. Интегралы с бесконечными границами. Несобственные интегралы.
- •68. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
- •69. Функции многих переменных. Предел. Непрерывность. Теорема о непрерывных функциях.
- •70. Частные производные и их геометрический смысл. Производные по направлению. Градиент и его св-ва.
- •71. Самый длинный предпоследний вопрос.
- •72. Производные и дифференциалы сложных ф-й нескольких переменных.
67. Интегралы с бесконечными границами. Несобственные интегралы.
Опр.: Если интеграл от a до b стремится к определённому пределу при неограниченном возрастании b, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечной верхней границей. Несобственный интеграл – это предел определённого интеграла.
Св-ва:
1. Пусть f(x) – непрерывная на полуинтервале [a; +). Если с>a, то несобственный интеграл - сходятся или расходятся одновременно.
2. k=const, - сходятся или расходятся одновременно.
3. Интеграл суммы = сумме интегралов.
4. - обобщение формулы Ньютона-Лейбница.
Если первообразная не известна или не выражается в элементарных функциях, то для исследования на сходимость, нужно использовать признаки:
1. Пусть f и g – неотриц., непрерывные ф-и на [a; +), при чём f<g тогда если интеграл(g) – сходится, то и интеграл(f) – тоже сходится, если интеграл(f) – расходится, то и интеграл(g) – тоже расходится.
2.Пусть f и g>0 ф-и на [a; +). Тогда если lim(f/g)=k>0 но <+, то эти ф-ии сходится или расходятся одновременно.
3. Интеграл от модуля и интеграл без модуля – сх. и расх. одновременно.
68. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
Опр.: Пусть ф-я f(x) неограниченна на отрезке [a,b] и непрерывны на любом отрезке [a,с], где a<c<b. Если существует конечный предел наз. несобственным интегралом от неограниченной ф-и и обозначается .
Св-ва такие же как и в предыдущем вопросе, только границы другие.
69. Функции многих переменных. Предел. Непрерывность. Теорема о непрерывных функциях.
1. n – мерное Эвклидово пространство
Опр.: Назовём n – мерной точкой упорядоченное множество из n действительных чисел. Расстояние между которыми вычисляется по формуле: (1).
Опр.: Rn – n-мерное ЕП наз. множество точек n-мерных точек, в которых введено расстояние по ф-ле (1).
Опр.: Ф-ей n переменных наз. отображение множества Х, включённого в n – мерное пространство.
График ф-ии n-переменных является пространство или его часть. Если ф-я задана с помощью ф-лы, то под областью определения понимается множество значений независимой переменной, при которых ф-я имеет смысл.
Увидеть важные св-ва графиков ф-й можно с помощью линий уровня.
2. Предел ф-ии рассмотрим на примере двух переменных.
Опр.: Число a называется пределом ф-ии f(M)=f(x,y) в точке M0(x0,y0), если:
Опр.: Ф-я z=f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если: .
Опр.: Ф-я наз. непрерывной если её предел = значению ф-ии в этой точке.
Опр.: Если
Теор.(непрерывность сложной ф-ии): Если ф-ии - непрерывны в точке (s0,t0), а ф-я z=f(x,y) – непрерывна в точке (x0,y0), тогда сложная ф-я - тоже непрерывна в (s0,t0).
Док-во: Записать на основании определения непрерывностей, для всех ф-й неравенства.
70. Частные производные и их геометрический смысл. Производные по направлению. Градиент и его св-ва.
Пусть задана ф-я z=f(x,y). - частное приращение по переменной x.
Производные по направлению. Рассмотрим на плоскости точку M0(x0,y0) и выходящий из неё луч L.
Опр.: Если существует конечный предел , то этот предел называется производной по направлению .
Теор.: Если ф-я f(x,y) имеет в точке M0(x0,y0) непрерывные частные, тогда существует производная по любому направлению , исходящему из точки M0, которая вычисляется по ф-ле: .
Градиент. Пусть в каждой точке некоторой области определён скаляр, тогда говорят что задано скалярное поле. Градиентом скалярной ф-и z=f(x,y) наз. вектор, проекции которого на координатные оси совпадают с частными производными: ; .
Св-ва: Пусть - два скалярных поля имеющие градиент, а f – дифференцируемая скалярная ф-я. Тогда:
1.
2.
3.
4.