- •Часть 1 – 1 семестр
- •Ч1.Вопрос15. Простые и двойные суммы. Их Свойства. Линейные преобразования неизвестных; их умножение. Получить вид матрицы произведения линейных преобразований.
- •Ч1.Вопрос16. Умножение матриц, его свойства. Единственность единичной матрицы. Доказать отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц.
- •Ч1.Вопрос17. Обратная матрица (существование, единственность).
- •Ч1.Вопрос19. Алгебраические операции. Примеры. Группы, кольца (определения, примеры). Делители нуля. Возможность сокращения.
- •Ч1.Вопрос20. Поле. Следствия из аксиом. Отсутствие делителей нуля. Характеристика поля; ее простота. Подполя и расширения полей. Изоморфизм колец (полей).
- •Ч1.Вопрос21. Кольцо многочленов от одной переменной. Степень произведения. Отсутствие делителей нуля. Многочлены, имеющие обратные.
- •Ч1.Вопрос22. Алгоритм деления с остатком (доказать единственность). Делители многочлена. Доказать свойства делимости (не менее 5 свойств).
- •Ч1.Вопрос23. Нод. Доказать алгоритм Евклида. Сформулировать его следствие.
- •Ч1.Вопрос24. Число нод двух многочленов. Взаимно простые многочлены; их свойства.
- •Ч1.Вопрос25. Корни многочленов. Деление на (X-c). Теорема Безу. Метод Горнера. Теорема Виета.
- •Ч1.Вопрос26. Кратные корни. Производная многочлена; ее степень. Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании. Следствия.
- •Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании.
- •Ч1.Вопрос27. Число корней многочлена в произвольном поле. Равносильность двух понятий равенства. Формулировка теоремы существования корня. Следствия. Поле разложения.
- •Ч1.Вопрос29. Доказать сопряженность корней многочлена с действительными коэффициентами. Следствия. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем r.
- •Ч1.Вопрос30. Отделение корней c. Критерий отсутствия кратных корней.
- •Ч1.Вопрос31. Определение линейного пространства. Некоторые следствия из аксиом. Основные примеры линейных пространств.
- •Ч1.Вопрос32. Два определения линейной зависимости. Их равносильность. Примеры. Связи между линейной зависимостью системы и её подсистем.
- •Ч1.Вопрос34. Основная теорема о линейной зависимости.
- •Ч1.Вопрос35. Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечных систем векторов.
Ч1.Вопрос23. Нод. Доказать алгоритм Евклида. Сформулировать его следствие.
Опр1: Многочлен (x) называют общим делителем многочленов f(x) и g(x), если (x) делит f(x) и (x) делит g(x).
Замечание: Для любой пары f(x) и g(x) существуют общие делители, например многочлены 0 – степени.
Опр2: Многочлен D(x) называют НОД мног-в f(x) и g(x), запись d(x)=(f(x),g(x)) или НОД(f(x),g(x)) если выполняется 2 условия:
1) d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x).
2) d(x) – делится на любой общий делитель многочленов f(x) и g(x).
Замечание: Из определения не следует существование НОД и способ его нахождения.
Чтобы получить НОД для любой пары многочленов для любой пары многочленов f(x) и g(x), применяют алгоритм Евклида.
Док-во: пусть даны 2 многочлена f(x)=P[x] и g(x)=P[x]
Если f(x)=0, то (g(x),0)=g(x)
Если g(x)=0, то (f(x),0)=f(x)
Если f(x)=0, g(x)=0, то НОД не определяют (любое число)
f(x)0; g(x)0; Пусть степень многочлена f(x)≥deg(g(x)), тогда выполним деление f(x) на g(x) c остатком.
f(x)=g(x)q1(x)+r1(x) если r1(x)=0, то в качестве НОД выбирают g(x)
если r1(x)0, то его степень < deg(g(x))
g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x),..
rk-2(x)=rk-1(x)qk(x)+rk(x)
rk-1(x)=rk(x)qk+1(x)
Цепочка обязательна конечна тк степени остатков убывают и мы получим остат-к либо = 0, либо многочлену в 0 степени.
Покажем, что rk – НОД многочленов f(x) и g(x) проверяем
1) условие rk(x) делитель f(x) и g(x)
Из последнего равенства видно, что rk есть делитель для rk-1
В правой части предыдущего равенства оба слагаемые делятся rk(x) и т.д. g(x) – делится на rk(x), значит f(x) тоже делится на rk(x).
2) Покажем, что любой общий делитель (x) многочленов f(x) и g(x) делит rk(x) в цепочке равенств в верхней строчке r1(x) делится на (x) из второй строчки => r2(x) делится на (x) и т.д. в последней строчке => rk(x) делится на (x). Оба условия определения НОД выполнены. ■.
Следствие из алгоритма Евклида: для пары отличных от нуля многочленов f(x),g(x) многочлены u(x), v(x), такие что f(x)*u(x)g(x)*v(x)=НОД(f(x),g(x)). Причем u(x),v(x) пары f(x) и g(x) – определяются однозначно с точностью до множителя в нулевой степени. ■.
Ч1.Вопрос24. Число нод двух многочленов. Взаимно простые многочлены; их свойства.
Для любой пары многочленов существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=НОД(f(x),g(x)).
Пусть d1(x),d2(x)- 2-а НОД-а f(x) и g(x) => d1(x) делит d(x), а d2(x) делит d1(x). d1(x)=c*d2(x),c-элемент поля P/0. тогда число НОД равно числу элементов поля.
опр: многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми если их НОД есть многочлен нулевой степени = 1.
Его можно подобрать любому выбранному многочлену.
Для взаимно простых многочленов f(x) и g(x) следствие из Алгоритма Евклида принимает вид: для любой пары f(x) и g(x) НОД=1. существование U(x) и V(x) определено однозначно, что выполняется равенство: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=1.
Свойства:
Если f(x) взаимно прост с φ(x) и ψ(x) то он взаимно прост.
Если f(x) * g(x) делится на φ(х)
Если φ(х) делит f(x), ψ(х) делит f(x) => φ(х) и ψ(х) взаимно просты и их произведение делит f(x)