![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
Задача
IV.3. Разложить на простейшие дроби
рациональную дробь
.
▲
Данная дробь
правильная
.
Разложим
знаменатель на множители:
.
Квадратичный
множитель
вещественных корней не имеет, а потому
имеет место разложение
.
Умножая
обе части равенства
,
получаем
Для
определения неизвестных коэффициентов
применим комбинированный метод
|
|
|
|
|
|
Искомое разложение имеет вид
.
Корни знаменателя – кратные комплексные числа
Задача
IV.4. Разложить на простейшие дроби
рациональную дробь
.
▲
Данная дробь
правильная
.
Знаменатель уже разложен на множители и не имеет вещественных корней.
Поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь вид
.
Умножая обе части равенства
, получаем
или
.
Для определения неизвестных коэффициентов
применим метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, будем иметь
Следовательно,
. ▼
Замечание - свободный член.
2. Интегрирование простейших дробей
Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби, причем это представление единственно.
Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется непосредственно:
.
Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простейших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей. Рассмотрим вопрос об их интегрировании.
I.
.
Задача
IV.5. Найти интегралы: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1)
▲
.
▼
2)
▲
.
▼
3)
▲
.
▼
4) ▲
.
▼
II.
.
Задача
IV.6. Найти интегралы: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1)
▲
.
▼
2)
▲
.
▼
3)
▲
.
▼
4)
▲
.
▼
Интегрирование дробей первых двух типов очевидно. Такие дроби дальше нужно интегрировать в уме.
III.
.
1. Прием выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.
.
Так как второе слагаемое
,
то положим его равным
,
где
,
а затем сделаем подстановку
.
Тогда, учитывая линейные свойства
интеграла, найдем:
.
Замечание.
Если в знаменателе дроби вместо
квадратичного трехчлена
находится трехчлен
,
то коэффициент
следует вынести за скобку и тем самым
свести этот случай к предыдущему.
Задача
IV.7. Найти интегралы: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1)
▲
.
▼
2)
▲
.
▼
3)
▲
.
▼
4)
Эта задача отличается от предыдущих
задач тем, что коэффициент
в знаменателе не равен единице. Для того
чтобы свести этот случай к предыдущим,
будем это коэффициент выносить за
скобку.
▲
.
▼
Задача
IV.8. Найти интеграл
▲
.
▼
2. Прием выделения одной линейной функции из другой.
Для
вычисления интеграла
можно поступать так:
в числителе подынтегральной дроби записывается производная знаменателя, т. е.
.
Тождественными
преобразованиями
получают заданный числитель
.
Для
этого следует двучлен
умножить
и к полученному произведению прибавить
.
Очевидно, что
.
Преобразованная дробь
имеет вид
и может быть представлена как сумма двух дробей:
.
Первая дробь интегрируется просто: в числителе находится производная знаменателя – интегрирование приводит к натуральному логарифму модуля знаменателя.
Для интегрирования второй дроби в знаменателе выделяют полный квадрат.
Задача
IV.9. Найти интеграл
.
▲
.
▼